Secuencia de funciones uniformemente continuas $f_n(x)$ converge uniformemente a una función uniformemente continua $f(x)$ ?

Question

Sabemos que si la secuencia de funciones continuas $g_n(x)$ converge uniformemente a $g(x)$ entonces $g(x)$ es una función continua.

Pero, ¿y si uniformemente secuencia de funciones continuas $f_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ ? ¿Implica eso que $f(x)$ es una función uniformemente continua?

Si es así, ¿cómo lo probamos? ¿Qué $\delta$ debemos tomar por $f(x)$ ? No podemos elegir simplemente $\min\{ \delta_n \}$ .

¿Y si $f_n(x)$ converge puntualmente a $f(x)$ . Will $f(x)$ ser continua? uniformemente continua? ¿O la convergencia puntual no es suficiente?

Answer 1

Reclamación : Dejemos que $f_n$ sea una secuencia de funciones uniformemente continuas que convergen uniformemente a $f$ entonces $f$ es uniformemente continua.

Prueba : Dejemos que $\epsilon >0$ . Desde $f_n \to f$ uniformemente, hay $f_n$ para que $$|f_n(x) - f(x) | < \epsilon /3$$ para todos $x$ . Desde $f_n$ es uniformemente continua, existe $\delta >0$ para que $$|f_n(x) - f_n(y)|<\epsilon/3$$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Así,

$$|f(x) - f(y)| \le |f(x) - f_n(x) | + |f_n(x) - f_n(y)| + |f_n(y) - f(y)| < \epsilon$$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Así, $f$ es uniformemente continua.

Si $f_n \to f$ sólo puntualmente, $f$ puede ni siquiera ser continua (piense en $x^n $ en $[0,1]$ )