¿El producto de dos núcleos de probabilidad es un núcleo de probabilidad?

Question

Sean $(\mathbb{X} _i, \mathscr{X}_i)$ y $(\mathbb {Y} _i, \mathscr {Y} _i)$ espacios medibles con $i = 1, 2$. Sea $\gamma_i: \mathscr {X}_i\times\mathbb {Y}_i\longrightarrow [0,1]$ un núcleo de probabilidad de $(\mathbb {Y}_i, \mathscr {Y}_i)$ a $(\mathbb {X}_i , \mathscr {X}_i)$, es decir, $$\gamma_i(X_i|\;\;\;\;):\mathbb {Y}_i\longrightarrow [0,1]$$ es una función medible respecto a $\mathscr{Y}_i$ para todo $X_i\in\mathscr{X}_i$ y $$\gamma_i(\;\;\;\;|\omega_i): \mathscr {X}_i\longrightarrow [0,1]$$ es una probabilidad para todo $\omega_i\in\mathbb{Y}_i$.

Sean $\mathbb {X} = \mathbb {X} ^ 1 \times \mathbb{X}^ 2$, $\mathbb {Y} = \mathbb{Y}^1\times\mathbb{Y}^2$. Denotemos por $\mathscr{X}=\sigma(\mathscr{X}^1\times\mathscr{X}^2)$ una $\sigma$-álgebra generada por el álgebra $\mathscr{X}^1\times\mathscr{X}^2$ y $\mathscr{Y}=\sigma(\mathscr{Y}^1\times\mathscr{Y}^2)$ una $\sigma$-álgebra generada por el álgebra $\mathscr{Y^1}\times\mathscr{Y}^2$. Definimos $\gamma_1 \times \gamma_2: \mathscr {X}\times\mathbb {Y} \longrightarrow [0,1]$ para $X \in \mathscr {X}$ y $\omega = (\omega_1, \omega_2) \in \mathbb{Y}_1 \times \mathbb{Y}_2 = \mathbb{Y}$ tal que $$\gamma_1\times\gamma_2(\;\cdot\;|\omega)=\gamma_1(\;\cdot\;|\omega_1)\times\gamma_2(\;\cdot\;|\omega_2)$$ y $$\gamma_1\times\gamma_2(X|\omega)=\gamma_1(\;\cdot\;|\omega_1)\times\gamma_2(\;\cdot\;|\omega_2)(X)$$ Es interesante plantear la siguiente pregunta. ¿Bajo qué condiciones podemos decir que $\gamma = \gamma_1\times\gamma_2$ es un núcleo de probabilidad de $(\mathbb {Y}, \mathscr {Y})$ a $(\mathbb {X} , \mathscr {X})$?

Answer 1

El resultado se mantiene en toda su generalidad. Soy un poco perezoso, así que usaré mi propia notación.

Proposición: Sean $(X_1,\mathcal{X}_1)$, $(X_2,\mathcal{X}_2)$, $(Y_1, \mathcal{Y}_1)$ y $(Y_2, \mathcal{Y}_2)$ espacios medibles y sean $K_1:X_1\times\mathcal{Y}_1\to[0,1]$ y $K_2:X_2\times\mathcal{Y}_2\to[0,1]$ núcleos de probabilidad. Entonces la función $K:X_1\times X_2\times\mathcal{Y_1}\otimes\mathcal{Y}_2\to[0,1]$ dada por $K\big((x_1,x_2),A\big)=K_1(x_1,\cdot)\otimes K(x_2,\cdot)(A)$ es un núcleo de probabilidad.

Prueba: Solo tenemos que verificar la $\mathcal{X}_1\otimes\mathcal{X}_2$-medibilidad. Utilizamos el teorema de la clase monótona. Nuestro $\pi$-sistema serán los rectángulos medibles y nuestro $\delta$-sistema $D$ la familia de todos los conjuntos medibles $A$ en $\mathcal{Y}_1\otimes\mathcal{Y}_2$ tales que $K(\cdot,A)$ es medible. Primero mostramos que los rectángulos medibles están en $D$. Sea $A_1\times A_2$ un rectángulo medible y $r\in[0,1]$. Definimos $$R=\{(q_1,q_2)\in\mathbb{Q}_+\times\mathbb{Q}_+:q_1 q_2

Luego $$K(\cdot,A\backslash B)^{-1}\big([0,r)\big)=\bigcup_{(q_1,q_2)\in Q} \bigg(K(\cdot,A)^{-1}\big([0,q_1)\big)\cap K(\cdot,B)^{-1}\big((q_2,1]\big)\bigg),$$ lo que demuestra nuestra segunda afirmación. Finalmente, tenemos que mostrar que $D$ es cerrado bajo límites crecientes. Entonces sea $(A_n)$ una secuencia creciente en $D$, $r\in [0,1]$ y sea $A=\bigcup_n A_n$. Luego $$K(\cdot,A)^{-1}\big((r,1]\big)=\bigcup_n K(\cdot,A_n)^{-1}\big((r,1]\big),$$ por la continuidad de las medidas de probabilidad y así hemos demostrado la última afirmación.

Editar: Vale la pena señalar que el resultado se generaliza a productos arbitrarios de núcleos. La finitud del producto solo se usó en el primer paso con los rectángulos medibles. Ahora el álgebra $\sigma$ del producto está esencialmente generada por rectángulos finitos, por lo que la prueba se generaliza.

Answer 2

Creo que esta construcción necesita más trabajo. Mi punto es el lado izquierdo de
$$\gamma_1\times\gamma_2(\;\cdot\;|\omega)=\gamma_1(\;\cdot\;|\omega_1)\times\gamma_2(\;\cdot\;|\omega_2)$$ está bien definido para un conjunto no rectangular, ¿pero qué pasa con el lado derecho?

Tal vez me esté perdiendo algo.