Una forma más corta de integrarse $\int \frac{x^9}{(x^2+4)^6} \, \mathrm{d}x$

Question

$$ I=\int \frac{x^9}{(x^2+4)^6}\mathrm{d}x $$ Sí, lo sé, puedo sustituir: $$t=x^2+4\text{ or }2\tan\theta$$ Pues eso: $$I=\frac12\int\frac{(t-4)^4}{t^6}\mathrm{d}t\text{ or } I=2^{-2}\int\tan^9\theta\cos^{10}\theta\mathrm{d}\theta$$ Ambos son un largo y tedioso camino* para resolver, ¿hay algún método más fácil?

Actualización: No estoy preguntando entre estos dos, estoy preguntando cualquier "sustitución" excepto estos dos, que es más corto.

Edita: Siento mucho haberme perdido el ^ $6$ en cuestión.

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• Utilizar el Teorema Binomial para la primera y luego dividir por $t^6$ y, a continuación, integra el término.

• $\require{cancel}\cancel{\text{Use Reduction formula for second or integration by parts.}}$

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Answer 1

Sugerencia :

Reescribe el integrando como $$\frac{x^9}{x^2+4}=x^7-4x^5+16x^3+\frac{256x}{x^2+4}-64x.$$

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Editar :

El PO se cambió en $$ \int\frac{x^9}{(x^2+4)^6}\ dx. $$ Utilice $x=2\tan\theta\ \Rightarrow\ dx=2\sec^2\theta\ d\theta$ . $$ \int\frac{x^9}{(x^2+4)^6}\ dx=\frac14\int\tan^9\theta\ \cos^{10}\theta\ d\theta=\frac14\int\sin^9\theta\cos\theta\ d\theta. $$ Ahora, establece $t=\sin\theta\ \Rightarrow\ dt=\cos\theta\ d\theta$ . $$ \int\frac{x^9}{(x^2+4)^6}\ dx=\frac14\int t^9 dt=\frac1{40}t^{10}+C, $$ donde $\sin\theta=\dfrac x{\sqrt{x^2+4}}$ . La respuesta es $\color{blue}{\text{D}}$ .

Answer 2

Todavía no tienes que utilizar una sustitución. Si divides largamente el integrando, obtienes $$\frac{x^9}{x^2+4}=x^7-4x^5+16x^3+\frac{256x}{x^2+4}-64x.$$ Ahora, es bastante simple si el integrar término por término. Terminando las cosas: $$ \begin {align*} \displaystyle\int \frac {x^9}{x^2+4} \, \mathrm{d}x &= \displaystyle\int \left( \frac{x^9}{x^2+4}=x^7-4x^5+16x^3+\frac{256x}{x^2+4}-64x \right) \, \mathrm{d}x \\&= \frac {x^8}{8} - \frac {2}{3} x^6 + 4x^4 - 64x + 256 \displaystyle\int \frac {x}{x^2 + 4} \, \mathrm{d}x. \end {align*} $$ La última integral puede hacerse con una fácil sustitución.

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Editar : Así que aparentemente el problema se cambió de nuevo, pero la misma idea se aplica. Puedes reescribir el nuevo integrando como $$ \frac {x^9}{(x^2+4)^6} = \frac {x}{(x^2+4)^2} - \frac {16x}{(x^2+4)^3} + \frac {96x}{(x^2+4)^4} - \frac {256x}{(x^2+4)^5} + \frac {256x}{(x^2+4)^6}, $$ y utilizar la sustitución $u=x^2+4$ en cada uno de ellos.

Answer 3

$$I=\int \frac{x^9}{(x^2+4)^6}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x(x^2)^4}{(x^2+4)^6}dx=$$ $$x^2+4=u,x^2=u-4,2xdx=du$$ $$=\frac{1}{2}\int \frac{(u-4)^4}{u^6}du$$

Answer 4

La sustitución $t=1+ 4/x^2$ parece ser útil en su caso.

Tenemos $$x^2+4 = \frac{4t}{t-1},$$ $$x^9 \frac{dx}{dt} = - \frac18 x^{12} = -\frac18\frac{4^6}{(1-t)^6},$$ y así $$\int \frac{x^9}{(x^2+4)^6} dx = - \frac18 \int t^{-6} dt. $$