La 2-norma de la integral vs la integral de la 2-norma

Question

Actualmente estoy teniendo algunos problemas con un aparentemente inocente problema. Me gustaría mostrar que

$$\Bigg|\Bigg|\int_\mathbb{R}\begin{pmatrix}A(x)\\B(x)\end{pmatrix}dx\Bigg|\Bigg|_2 \leq \int_{\mathbb{R}}\Bigg|\Bigg|\begin{pmatrix}A(x)\\B(x)\end{pmatrix}\Bigg|\Bigg|_2dx$$

Donde $A(x),B(x) \in L^2(\mathbb{R})$ y las dos de la norma se define como $$\Bigg|\Bigg|\begin{pmatrix}A(x)\\B(x)\end{pmatrix}\Bigg|\Bigg|_2=\sqrt{|A(x)|^2+|B(x)|^2}$$

Le he pedido a su alrededor y las personas han tendido a decir: "muy simple" y, a continuación, pasó la mitad de una hora mirando. He intentado conectar cosas y parece que espera pero me hace falta una prueba. Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Gracias de antemano

Answer 1

Es muy simple. jeje... (Nota usted realmente desea asumir $A,B\in L^1(\Bbb R)$, no $L^2$.)

Edit: Moralmente el mismo argumento funciona para una de Banach-espacio de valores de la función; ver a Continuación.

Para hacer las cosas más fáciles de escribir, voy a revisar la notación. Supongamos que $f:\Bbb R\to\Bbb R^2$; queremos demostrar que $$\left|\left|\int f(x)\,dx\right|\right|_2\le\int||f(x)||_2\,dx.$$ Let $$v=\int f(x)\,dx\in\Bbb R^2.$$ Then $$||v||_2^2=v\cdot v=v\cdot\int f(x)\,dx=\int v\cdot f(x)\,dx\le\int||v||_2||f(x)||_2\,dx=||v||_2\int||f(x)||_2\,dx.$$ Divide by $||v||_2$: $$||v||_2\le\int||f(x)||_2\,dx.$$

A continuación puede Uno dar un argumento similar si $f:S\to X$ donde $X$ es un espacio de Banach y $\mu$ es una medida en $S$. Vamos $$v=\int_Sf(t)\,d\mu(t)\in X.$$ Suppose $\Lambda\in X^*$ and $||\Lambda||=1$. Then $$\Lambda v=\int\Lambda f(t)\,d\mu(t)\le\int||\Lambda||_{X^*}||f(t)||_X\,d\mu(t)=\int||f(t)||\,d\mu(t).$$ Since this holds for every such $\Lambda$, Hahn-Banach shows that $||v||\le\int||f||\,d\mu$.

Answer 2

Para dar un panorama más general, que no utilice de la forma especial de la $2$-norma siendo inducida por el producto escalar, vamos a mostrar:

La proposición. Supongamos $X$ es un espacio de Banach, $(S,\mathcal A, \mu)$ una medida de espacio, y $f \colon S \to X$ es integrable. Entonces tenemos $$\def\norm#1{\left\|#1\right\|}\norm{\int_S f \, d\mu} \le \int_S \norm {f(s)} \, d\mu(s)$$

Prueba. Se utiliza la definición de la integral. Si $f = \sum_i x_i\chi_{A_i}$ es una función simple, donde el $A_i$ son disjuntos, entonces $\norm{f(s)} = \sum_i \norm{x_i} \chi_{A_i}(s)$ y por lo tanto $$\begin{align*} \norm{\int_S x_i \chi_{A_i}d\mu} &= \norm{\sum_i \mu(A_i)x_i}\\ &\le \sum_i \mu(A_i)\norm{x_i}\\ &= \int_S \sum_{i}\norm{x_i}\chi_{A_i} d\mu\\ &= \int_S \norm{f(s)}\, d\mu(s) \end{align*}$$ Si $f$ es integrable, elija las funciones simples $f_n$ tal que $f_n \to f$ en casi todas partes y $\lim_n\int_S f \, d\mu = \int_S f_n \, d\mu$ hemos $$\begin{align*} \norm{\int_S f\, d\mu} &= \lim_n \norm{\int_S f_n\, d\mu}\\ &\le \lim_n \int_S \norm{f_n(s)}\, d\mu(s)\\ &= \int_S \norm{f(s)}\, d\mu(s) \end{align*}$$