Demostrar que cualquiera de los dos de la izquierda cosets $aH, bH$ coinciden o son disjuntas, y demostrar el teorema de Lagrange

Question

Considere un grupo de $G$ y un subgrupo $H \subset G$. Demostrar que cualquiera de los dos de la izquierda cosets $aH$ $bH$ coinciden o son disjuntas. Estado y demostrar el teorema de Lagrange.

Para la primera parte, la prueba de que tengo va como esto:

Suponga $aH \cap bH = \emptyset$ (por lo tanto no son disjuntos). Luego de algunos elementos de la $h_1, h_2 \in H$, obtenemos

$$ah_1 = bh_2.$$

Multiplicar ambos lados, a la derecha por $h_1^{-1}$

$$ah_1h_1^{-1} = bh_2h_1^{-1}$$ $$a = b(h_2h_1^{-1})$$

He aquí, pero por alguna razón, la siguiente línea dice

$$aH = \{ah_1\} = \{b(h_2h_1^{-1})h_1\} \in H$$

Como todos los elementos de a $H$ aquí, esto es igual a$aH$, por lo que la prueba está completa.

No entiendo por qué la intersección de dar el conjunto vacío se muestra no es distinto.

En segundo lugar, para demostrar el teorema de Lagrange. El teorema es que el orden del subgrupo divide al orden del grupo, o:

$$|G| = |H| \cdot (\mathrm{Number \, of \, left \, cosets\, of H)}$$

Entonces la prueba dice esto:

$G$ consiste en el número de la izquierda cosets de $H$, y cada uno de ellos constan de $|H|$ elementos, a continuación, los cosets son disjuntas.

¿Cómo funciona esto prueba el teorema?

Answer 1

Ya que ninguno ha contestado hasta ahora, voy a publicar mis comentarios como una respuesta.

$aH$ es el conjunto $\{ah: h\in H\}$, por tanto, una vez que usted encuentra que $a=bh_2h_1^{−1}$, entonces para cada a $h\in H$ $ah=bh_2h_1^{−1}h\in bH$ (desde $h_2h_1^{−1}h$ aún se encuentra en $H$). Por lo tanto,$aH\subseteq bH$; el mismo razonamiento muestra que las otras inclusión tiene demasiado, por lo que conseguir la implicación $$ aH\cap bH\neq\emptyset\quad\Leftrightarrow\quad aH=bH $$ ('$\Leftarrow$' se sigue del hecho de que el aH y bH no están vacías; no se responder a tu primera pregunta?).

Para cada $g\in G$$g\in gH$$g=\bigcup_{g\in G}gH$. Como se demostró anteriormente, para cada $g_1,g_2\in G$ $g_1H$ y $g_2H$ son disjuntas o coinciden, por lo tanto, no existe $g_1\ldots g_n\in G$ tal que $$ G = \bigcup_{i=1}^n g_iH \qquad\text{y}\qquad g_1H\ldots g_nH \text{ son disjuntos a pares} $$ Cada conjunto $g_iH$ tiene la misma cardinalidad como $H$ (trivialmente para cada $h_1,h_2\in H$ $h_1\neq h_2$ fib $g_1h_1\neq g_1h_2$), por lo que la fórmula anterior implica $$ |G| = \sum_{i=1}^n|g_iH| = \sum_{i=1}^n|H| = n|H| $$ (Esto debe explicar a su última pregunta)

Por lo tanto, el número de $n$ de los "representantes" no depende de los elementos escogidos y es, por definición,$n=|G:H|$. Por lo $|G|=n|H|=|G:H||H|$.