Derivación de la solución asintótica de $\tan(x) = x$ .

Question

Una ecuación que parece surgir en todas partes es la trascendental $\tan(x) = x$ . Normalmente, cuando se presenta, uno se contenta con una solución numérica que suele utilizar el método de Newton. Sin embargo, navegando hoy he encontrado una fórmula asintótica para las raíces positivas $x$ :

$x = q - q^{-1} - \frac23 q^{-3} + \cdots$

con $q = (n + 1/2) \pi$ para números enteros positivos $n$ . Por ejemplo, aquí: http://mathworld.wolfram.com/TancFunction.html y aquí: http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=7014308 encontrado en un comentario aquí: ¿Solución de tanx = x? .

El artículo de Mathworld dice que se puede derivar esta fórmula usando la reversión de series, sin embargo estoy teniendo dificultades para averiguar exactamente cómo hacerlo.

Cualquier ayuda con una derivación sería muy apreciada.

Answer 1

Quizá le interese el libro de N. G. de Bruijn Métodos asintóticos en el análisis que trata la ecuación $\cot x = x$ . Lo que sigue es esencialmente una pequeña modificación de esa sección del libro.

La herramienta central que utilizaremos es la fórmula de inversión de Lagrange. La fórmula dada en de Bruijn difiere ligeramente de la dada en la página de la wiki, así que la reproduciré aquí.

Fórmula de inversión de Lagrange.

Que la función $f(z)$ sea analítico en alguna vecindad del punto $z=0$ del plano complejo. Suponiendo que $f(0) \neq 0$ consideramos la ecuación $$w = z/f(z),$$ donde $z$ es la incógnita. Entonces existen números positivos $a$ y $b$ tal que para $|w| < a$ la ecuación tiene una sola solución en el dominio $|z| < b$ y esta solución es una función analítica de $w$ : $$z = \sum_{k=1}^{\infty} c_k w^k \hspace{1cm} (|w| < a),$$ donde los coeficientes $c_k$ vienen dadas por $$c_k = \frac{1}{k!} \left\{\left(\frac{d}{dz}\right)^{k-1} (f(z))^k\right\}_{z=0}.$$

Esencialmente lo que esto dice es que podemos resolver la ecuación $w = z/f(z)$ para $z$ como una serie de potencias en $w$ cuando $|w|$ y $|z|$ son lo suficientemente pequeños.

Bien, pasemos al problema. Queremos resolver la ecuación $$\tan x = x.$$ Como en muchos problemas de asintótica, necesitamos un punto de apoyo para ponernos en marcha. Veamos las gráficas de $\tan x$ y $x$ :

Vemos que en cada intervalo $\left(\pi n - \frac{\pi}{2}, \pi n + \frac{\pi}{2}\right)$ hay exactamente una solución $x_n$ (es decir $\tan x_n = x_n$ ), y, cuando $n$ es grande, $x_n$ es aproximadamente $\pi n + \frac{\pi}{2}$ . Pero, ¿cómo mostramos esta segunda parte?

Desde $\tan$ es $\pi$ -periódico tenemos

$$\tan\left(\pi n + \frac{\pi}{2} - x_n\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - x_n\right)$$ $$\hspace{2.4 cm} = \frac{1}{\tan x_n}$$ $$\hspace{2.6 cm} = \frac{1}{x_n} \to 0$$

como $n \to \infty$ donde la penúltima igualdad se deduce de las identidades $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta,$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta.$$

Desde $-\frac{\pi}{2} < \pi n + \frac{\pi}{2} - x_n < \frac{\pi}{2}$ y como $\tan$ es continua en este intervalo tenemos $\pi n + \frac{\pi}{2} - x_n \to 0$ como $n \to \infty$ . Así, hemos demostrado que $x_n$ es aproximadamente $\pi n + \frac{\pi}{2}$ para grandes $n$ .

Ahora comenzamos el proceso de poner la ecuación $\tan x = x$ en la forma requerida por la fórmula de inversión de Lagrange. Establezca $$z = \pi n + \frac{\pi}{2} - x$$ y $$w = \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-1}.$$ Tenga en cuenta que hacemos esto porque cuando $|w|$ es pequeño (es decir, cuando $n$ es grande) podemos tomar $|z|$ lo suficientemente pequeño como para que sólo haya una $x$ (en el sentido de que $x = \pi n + \frac{\pi}{2} - z$ ) que satisface $\tan x = x$ . Enchufando $x = w^{-1} - z$ en la ecuación $\tan x = x$ rinde, tras algunas simplificaciones en la línea de las ya comentadas, $$\cot z = w^{-1} - z,$$ que se reordena a $$w = \frac{\sin z}{\cos z + z\sin z} = z/f(z),$$ donde $$f(z) = \frac{z(\cos z + z\sin z)}{\sin z}.$$ Aquí hay que tener en cuenta que $f(0) = 1$ y que $f$ es analítica en $z = 0$ . Acabamos de satisfacer los requisitos de la fórmula de inversión, por lo que podemos concluir que podemos resolver $w = z/f(z)$ para $z$ como una serie de potencias en $w$ en el formulario indicado anteriormente en el correo.

Tenemos $c_1 = 1$ y, como $f$ es par, se puede demostrar que $c_{2k} = 0$ para todos $k$ . Calculando los primeros coeficientes en Mathematica se obtiene $$z = w + \frac{2}{3}w^3 + \frac{13}{15}w^5 + \frac{146}{105}w^7 + \frac{781}{315}w^9 + \frac{16328}{3465}w^{11} + \cdots.$$ Sustituyendo esto en $x = w^{-1} - z$ y utilizando $w = \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-1}$ da la serie deseada para $x_n$ cuando $n$ es lo suficientemente grande: $$x_n = \pi n + \frac{\pi}{2} - \left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-1} - \frac{2}{3}\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-3} - \frac{13}{15}\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-5} - \frac{146}{105}\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-7} - \frac{781}{315}\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-9} - \frac{16328}{3465}\left(\pi n + \frac{\pi}{2}\right)^{-11} + \cdots$$