Continuidad absoluta en la calidad

Question

Demostrar para una función absolutamente continua $u(x)$ en $[0,1]$ que satisface $u(0) = 0$ ,

$$\int_0^1{\frac{u(x)^2}{x^{3/2}}dx} \leq 2\int_0^1 (u'(x))^2 dx$$

Answer 1

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $$u(x)^2=\bigg(\int_0^x u'(t)dt\bigg)^2\le x\int_0^xu'(t)^2dt.$$

Por lo tanto, $$\int_0^1\frac{u(x)^2}{x^{3/2}}dx\le\int_0^1\frac{\int_0^xu'(t)^2dt}{x^{1/2}}dx=\int_0^1\bigg(\int_t^1x^{-1/2}dx\bigg)u'(t)^2dt\le2\int_0^1u'(t)^2dt,$$ donde la igualdad en el segundo paso anterior se debe al teorema de Fubini.