Empecemos en $R^n$ que es donde se hace la pregunta.
Creo que la continuidad en un punto es el comienzo de un proceso. Dejando de lado tu sugerencia de los puntos aislados, una vez que has definido lo que quieres decir con continuo en un punto (en cualquier número de dimensiones) ahora puedes definir lo que quieres decir con continuo en un intervalo (o bola en $R^n$ Pero voy a utilizar la palabra "intervalo"), es decir, que la función es continua en cada punto del intervalo.
Ahora tenemos algo con lo que trabajar. Por ejemplo, una función que es continua en un intervalo cerrado y acotado (conjunto compacto) está acotada allí y se garantiza que tiene un máximo y un mínimo. También se garantiza que es uniformemente continua, que es una condición más fuerte. Se garantiza que existe un polinomio en el intervalo que se aproxima a la función con cualquier grado de precisión deseado. Es (Riemann y Lebesgue) integrable en ese intervalo y tiene una antiderivada en cada variable, por lo que tiene alguna ayuda con la integración, la doble integración, etc. Incluso si no puedes averiguar qué es esta antiderivada, el hecho de que exista es bastante útil para ciertas pruebas.
Entonces toda la teoría de las derivadas se construye sobre la continuidad. Si la función no es continua no puede ser diferenciable. En $R^n$ La diferenciabilidad (a diferencia de tener derivadas parciales, que ni siquiera implican continuidad) nos dice que la curva es más suave que una meramente continua; y que en una vecindad suficientemente pequeña de cualquier punto es casi lineal (casi se puede definir exactamente). Esto significa que si te piden que demuestres algo y puedes demostrarlo para funciones lineales (a menudo bastante fácil), podrías extender tu demostración a funciones diferenciables, con el argumento de que casi lineal es suficiente.
La existencia de cada derivada adicional (2ª, 3ª, etc.) implica que la función es cada vez más suave. Esto es muy útil si se intenta aproximar una función con algo más fácil de trabajar o mostrar la existencia de ciertas cosas, como la solución de una ecuación diferencial.
En el plano complejo, la existencia de una derivada, incluso en un punto, es una afirmación muy fuerte, que indica que la función es analítica en las proximidades de ese punto. Las funciones analíticas tienen muchísimas propiedades que las meramente diferenciables no tienen, y son la piedra angular de muchas soluciones a problemas de física.
Alejarse de $R^n$ y en otros espacios, la continuidad puede seguir siendo definida, y de nuevo la continuidad en un conjunto compacto tiene muchas implicaciones -- cuántas y cuáles son depende del espacio del que se hable.
Así que se empieza con la continuidad en un punto y se construye una gran estructura sobre ese concepto. Como se dice, el viaje más largo comienza con un solo paso.
