The Kelly Criterion -- ¿En qué me he equivocado?

Question

Supongamos el siguiente escenario de inversión simple/básico:

• Tengo $100$ USD en mi cuenta bancaria como punto de partida (aumentará/disminuirá a medida que invierta).
• Hay $1,000$ diferentes inversiones en las que pienso invertir mi dinero.
• Las inversiones son de tipo compra-venta. Así que compro algo bajo y lo vendo más alto.
• Todos mis planes $1,000$ las inversiones se ejecutan en serie (no en paralelo). Por ejemplo, paso a otra inversión sólo después de haber vendido la anterior (con suerte, vendida con beneficios).
• Todos los $1,000$ las inversiones son independientes (por ejemplo, la probabilidad de ganar/perder, o el ratio de beneficio, son independientes de cómo me vaya con otras inversiones).
• Probabilidad de que gane en cualquiera de los $1,000$ las inversiones es $0.54$ (es decir, tengo un poco más de posibilidades de ganar que de perder). He seleccionado $0.54$ arbitrariamente como ejemplo, así que nos ceñiremos a él por ahora.
• La tasa de beneficio de cada uno de los $1,000$ es $0.3$ . Por ejemplo, si invierto $5$ en cualquier inversión entre los $1,000$ y resulta que gano, entonces mis ingresos serán $5 + 5 \times 0.3 = 5 + 1.5 = 6.5$ .

Entonces, la pregunta definitiva es: ¿qué parte del dinero total de mi cuenta bancaria (en el momento de la inversión) debo invertir en una inversión entre las $1,000$ que he descrito anteriormente?

Según Wikipedia El criterio de Kelly parece sugerir la siguiente ecuación: $$ f^* = \frac{bp-q}{b} $$ donde:

• $f^*$ es la proporción óptima de mi dinero total que debo invertir en una inversión,
• $b = 0.3$ es la tasa de beneficio si gano una inversión,
• $p=0.54$ es la probabilidad de que gane una inversión,
• y $q=1-p=0.46$ es la probabilidad de que pierda una inversión.

Ahora bien, si entiendo bien el Kelly Criteron, y meto los números, obtengo: $$ f^* = \frac{0.3 \times 0.54 - 0.46}{0.3} = -0.99333 $$

Por ejemplo, si estoy a punto de invertir por primera vez (es decir, cuando mi dinero total es $100$ USD), debería invertir con $100 \times -0.99333 = -99.333$ ¡USD! Esto no tiene ningún sentido para mí.

Mi intento de utilizar un código de simulación en Python que simula exhaustivamente las tasas de inversión de $0$ hasta $1$ en incrementos de $0.05$ está muy en desacuerdo con el $-0.99333$ arriba, sugiriendo que $0.15$ es la tasa de inversión óptima.

INPUT (assumptions):
  * total money in bank: 100 USD.
  * total number of investment projects: 1000.
  * each investment has a probability 0.54 that it will be profitable.
  * each investment has a profit rate of 0.3 (if successful).
  * investments will be in series one by one (not parallel).

SIMULATION:
  when investmenting 0% of total money, total money changed from 100  to 100.00 by the end of the journey.
  when investmenting 5% of total money, total money changed from 100  to 534109.86 by the end of the journey.
  when investmenting 10% of total money, total money changed from 100  to 107780173.52 by the end of the journey.
  when investmenting 15% of total money, total money changed from 100  to 879409208.49 by the end of the journey.
  when investmenting 20% of total money, total money changed from 100  to 291742331.78 by the end of the journey.
  when investmenting 25% of total money, total money changed from 100  to 3717762.05 by the end of the journey.
  when investmenting 30% of total money, total money changed from 100  to 1608.50 by the end of the journey.
  when investmenting 35% of total money, total money changed from 100  to 0.02 by the end of the journey.
  when investmenting 40% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 45% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 50% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 55% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 60% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 65% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 70% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 75% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 80% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 85% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 90% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 95% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.
  when investmenting 100% of total money, total money changed from 100  to 0.00 by the end of the journey.

  RESULT: best investment ratio is 0.15.

Mi pregunta: ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Si su ganancia neta es sólo $0.3$ veces la apuesta, se trata de una pésima inversión (incluso el valor esperado, por no hablar de la utilidad logarítmica que Kelly maximiza en cada paso, es negativo). Esto debería ser intuitivo: sólo se gana un poco más de la mitad de las veces, mientras que la ganancia potencial es una pequeña fracción de la pérdida potencial. O bien, la ganancia neta esperada al apostar $x$ : \begin{equation} p\,b\,x + q\,(-x) = -0.298\,x. \end{equation}

Mirando el código de Python, parece que en realidad se añade $1.3$ veces la apuesta al bankroll cuando se gana (así que si se invierte $100$ , se obtiene el $100$ espalda y un adicional $30$ en lugar de $100$ y adicionales $130$ ).

Al entrar $b=1.3$ en la fórmula de Kelly citada en la pregunta, obtengo $0.19$ que coincide en cierta medida con el resultado de la simulación.

(Sin embargo, hay que tener en cuenta que la fórmula de Kelly se basa en la suposición de una utilidad subjetiva logarítmica o en resultados asintóticos, no está claro (para mí) cuán probable debe ser que la apuesta de Kelly produzca el mejor resultado en un experimento con $N=1000$ apuestas).

Answer 2

Has utilizado lo que la Wikipedia llama la "fórmula del jugador": f* = p - q/b Tienen otra fórmula llamada "fórmula de la inversión": f* = p/a - q/b, donde "p" y "q" son las probabilidades de ganar y perder, respectivamente, y "b" y "a" son las cantidades que el jugador puede ganar y perder, respectivamente. La fórmula del jugador dicta que si el jugador pierde, lo pierde todo, mientras que la fórmula de la inversión permite que el jugador pierda tanto parcial como totalmente. Siempre que sea posible reducir las pérdidas rápidamente saliendo de la posición, la fórmula de inversión es la que debe aplicarse a la situación. En general, "a" es probablemente la variable más controlable de a, b, p y q. "b" es algo que puedes intuir en base a tu experiencia, y "p" y "q" es algo que se puede estudiar hasta el punto de poder asignarles valores después de ver suficientes resultados para las configuraciones que tienes. "a" es su tolerancia a las pérdidas, por lo que cuando "a" supera una determinada tolerancia a las pérdidas, digamos el 10%, su trabajo es salirse ahora.

El criterio de Kelly fue introducido en el mundo del comercio por el matemático Edward Thorp, que lo utilizó por primera vez para el recuento de cartas en el blackjack, y luego se trasladó al mercado de valores para convertirse en uno de los primeros cuants de Wall Street. También derivó una versión aplicable a las tendencias, en la que f* = (m)/(s^2), donde m es la "tasa de deriva", o la tasa a la que se mueve la tendencia (es decir, la media de los puntos de datos), y "s^2" es la tasa a la que cambia la varianza con el tiempo (la varianza es la desviación estándar al cuadrado). La aplicación de esto a los datos de la tendencia nos permite conocer el tamaño óptimo de nuestra posición para cualquier tendencia dividiendo la pendiente de la tendencia por la pendiente del cambio de la varianza. Hasta ahí he llegado, pero las matemáticas cuadran. Incluso sin saber nada de matemáticas, es intuitivamente una excelente idea basar el tamaño de tu posición en algo que implique la pendiente de la tendencia porque parece tan intuitivamente obvio que ese sería el mejor momento para "apoyarse" en el mercado - cuando las acciones están subiendo constantemente. Cuanto más pronunciada sea la pendiente, más se querrá participar en la acción.

Curiosamente, en todo lo que he encontrado en internet respecto al criterio de Kelly, al menos el 90% de las personas, gurús, etc. se equivocan respecto a la fórmula a utilizar. Los mejores materiales de aprendizaje para el criterio de Kelly que conozco son el documento de Edward Thorp "The Kelly Criterion in Gambling, Sports Betting, and the Stock Market" donde lo deriva para un "lanzamiento de moneda con una moneda sesgada" así como la aproximación continua, y la página 29 de "Max Dama on Automated Trading" donde deriva el criterio de Kelly para la aproximación continua también. Stack Exchange también tiene algunas buenas discusiones sobre el tema. Gracias por leer esto.