Modos magnéticos transversales (TM) y eléctricos transversales (TE)

Question

Estoy leyendo y trabajando en "Fundamentos de la Plasmónica" de Stefan Maier y me he encontrado con un paso en el funcionamiento que me cuesta entender al elaborar las ecuaciones del campo electromagnético en una interfaz dieléctrico-conductor. En la fase en la que me encuentro hay seis ecuaciones acopladas para los componentes de campo de $\vec{H}$ y $\vec{E}$ :

El libro procede a decir que este sistema de ecuaciones sólo permite dos conjuntos de soluciones autoconsistentes. Uno en el que sólo $E_x$ , $E_z$ y $H_y$ son distintos de cero (modos magnéticos transversales) y uno en el que sólo $H_x$ , $H_z$ y $E_y$ son distintos de cero (modos eléctricos transversales).

¿Cómo se ha llegado a esta conclusión? ¿Cómo se ha resuelto esto para demostrar que hay dos conjuntos de soluciones, donde ciertos componentes son cero? Se agradece mucho cualquier indicación sobre cómo puedo empezar a resolver esto.

----EDIT 1-----

Estas ecuaciones pueden reducirse a las siguientes sustituyendo $H_z$ y $E_z$ en la ecuación correspondiente:

$ \partial_z E_y = -i\omega \mu_0 H_x\\ \partial_z E_x = iCH_y\\ \partial_z H_y = i\omega\epsilon_0\epsilon E_x\\ \partial_z H_x = -iC'E_y $

Que además se reducen a dos ecuaciones de onda:

NUEVA PREGUNTA / SE NECESITAN MÁS ACLARACIONES: Así que he llegado hasta aquí, pero todavía no puedo entender por qué esto produce dos conjuntos de soluciones autoconsistentes. Uno en el que sólo $E_x$ , $E_z$ y $H_y$ son distintos de cero (modos magnéticos transversales) y uno en el que sólo $H_x$ , $H_z$ y $E_y$ son distintos de cero (modos eléctricos transversales)?

Answer 1

Tengan paciencia, no recuerdo cada pequeño paso, pero espero que esta derivación les ayude.

Primero recuerda cómo viaja una onda a través de una guía de ondas (dieléctrica).

$$ E(x,y,z) = E^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$ $$ H(x,y,z) = H^{0}(x,y)e^{-\gamma z}$$

A continuación, considere las leyes de Ampere y Faraday para una región sin fuentes. $$ \triangledown \times H = j\omega\epsilon E $$ $$ \triangledown \times E = -j\omega\mu H $$

Esto produce 3 ecuaciones cada una (para las direcciones x, y y z):

$$ 1) \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \gamma E_{y} = -j\omega\mu H_{x}$$ $$ 2) \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + \gamma E_{x} = j\omega\mu H_{y}$$ $$ 3) \frac{\partial E_{y}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial y} = -j\omega\mu H_{z}$$ $$ 4) \frac{\partial H_{z}}{\partial y} + \gamma H_{y} = j\omega\mu E_{x}$$ $$ 5) \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \gamma H_{x} = -j\omega\mu E_{y}$$ $$ 6) \frac{\partial H_{y}}{\partial x} - \frac{\partial H_{x}}{\partial y} = j\omega\mu H_{z}$$

Podemos combinar (1) y (5) y combinar (2) y (4) debido a términos similares para generar ecuaciones para $H_{x}$ y $E_{x}$ que se convierten en (7) y (9). Reordenamos las ecuaciones (3) y (6) para $H_{y}$ y $E_{y}$ respectivamente.

$$ 7) H_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} + \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}$$

$$ 8) H_{y} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\epsilon}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x}$$

$$ 9) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} - \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial y}$$

$$ 10) E_{x} = \frac{-\gamma}{h^2} \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + \frac{j\omega\mu}{h^2} \frac{\partial H_{z}}{\partial x}$$

Y recuerda $ h^{2} = \gamma^{2} + \beta^{2}$ , donde $\beta = \omega \sqrt{\mu\epsilon}$

Componentes transversales $E_{x}, E_{y}, H_{x}, H_{y}$ se expresan en términos de los componentes longitudinales $E_{z}, H_{z}$ . Y se nos dan tres casos:

1) Eléctrico transversal (TE): $$ E_{z} = 0, H_{z} \neq 0$$

2) Magnético transversal (TM): $$ E_{z} \neq 0, H_{z} = 0 $$

3) Electromagnética transversal (TEM): $$ E_{z} = H_{z} = 0 $$

Donde en el caso de los modos TEM las ecuaciones (7) a (10) se rompen a menos que $ h = 0 $ significado: $$ \gamma^{2} + \beta^{2} = 0 $$ $$ \gamma^{2} = -\beta^{2} $$ $$ \gamma = j\beta = j\omega\sqrt{\mu\epsilon} $$

Ahora tenemos que traer la ecuación de Helmholtz para resolver la diferencial parcial para los modos TE y TM: $$ \triangledown^{2} A + k^{2}A = 0 $$

En los modos TE, necesitamos $H_{z}$ que es nuestro $A$ en la ecuación de Helmholtz, y nuestro factor $k^{2}$ es $\beta^{2}$ .

Sustituyendo: $$ \triangledown^{2} H_{z} + \beta^{2} H_{z} = 0 $$

Expandir: $$ \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} + \beta^{2} H_{z} = 0 $$

$$ \frac{\partial^{2} H_{z}}{\partial z^{2}} = -\gamma^{2}H_{z}^{0}(x,y)e^{-\gamma z} $$

$$ \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + (\gamma^{2} + \beta^{2})H_{z}$$ Desde $h^{2}$ = $\gamma^{2} + \beta^{2}$ concluimos: $$ \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} H_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}H_{z} = 0$$

Repite los mismos pasos anteriores para los modos TM, donde necesitamos $E_{z}$

$$ \triangledown^{2} E_{z} + \beta^{2} E_{z} = 0 $$

Y por lo tanto: $$ \frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}^{0}}{\partial y^{2}} + h^{2}E_{z} = 0$$

Ahora bien, la razón de que sólo haya dos conjuntos de componentes se debe a que la onda se propaga a lo largo de una única dirección dada la guía de ondas. El clave factor es que los campos eléctricos y magnéticos son SIEMPRE perpendicular entre sí. Este es un principio primario que descubrió Maxwell. Los dos viajan siempre juntos en las ondas electromagnéticas.

Por ejemplo:

Donde en los modos TM el campo eléctrico está en la dirección perpendicular a la de propagación, por lo que SOLO el campo magnético se propaga dentro de la guía de ondas, y viceversa para los modos TE. Por eso las componentes eléctricas o magnéticas se consideran 0 (dado que estamos suponiendo z para ser la dirección de propagación).

Así que tienes dos casos para las ondas TM y TE, donde el campo eléctrico es cero o el campo magnético es cero - por lo que tienes dos conjuntos de ecuaciones.

Esto difiere en los modos TEM donde ninguno se propaga en la dirección de la guía de ondas, sin embargo se requieren al menos dos conductores para que exista cualquier modo TEM.

Answer 2

Pistas:

1. Evidentemente, sólo debemos resolver para $z$ -(a diferencia de la $x$ - y $y$ -dependencia).

2. Obsérvese que las dos variables $E_z$ y $H_z$ puede ser eliminado.

3. En el sistema de EDO acoplado reducido de cuatro EDO de primer orden y cuatro variables $(E_x,E_y,H_x,H_y)$ , obsérvese que las variables unen dos y dos. ¿Qué pares?

4. Dentro de uno de estos pares, es posible eliminar una de las variables para formar una EDO de segundo orden en una sola variable. ¿Qué EDO de segundo orden conocida sería?

5. Supongamos que la EDO de segundo orden es de tipo oscilatorio. ¿Qué significa esto? Tiene dos constantes de integración (por ejemplo, la amplitud y la fase), a las que nos referiremos colectivamente como un solo modo.

6. Repitiendo 4 y 5, es posible obtener cuatro EDO de segundo orden en una variable cada una.

7. Sin embargo, recuerde que las cuatro variables no son independientes entre sí, sino que están acopladas dos y dos.

8. Por último, deduzca cuántos modos independientes existen.

Answer 3

Obsérvese que hay tres ecuaciones para las cantidades $(E_y,H_x,H_z)$ :

$$ \frac{\partial E_y}{\partial z} = -i\omega\mu_0 H_x $$

$$ i\beta E_y = i\omega\mu_0 H_z $$ $$ \frac{\partial H_x}{\partial z} -i\beta H_z = -i\omega\varepsilon_0\varepsilon E_y $$

Estas son totalmente independientes de las ecuaciones de los otros tres componentes, $(H_y,E_x,E_z)$ . Si supieras exactamente las soluciones para $(E_y,H_x,H_z)$ , seguiría sin tener precisamente información adicional sobre las otras soluciones, $(H_y,E_x,E_z)$ . Para resolver estas cantidades, habría que resolver las ecuaciones diferenciales que las gobiernan. Esto significa que los modos TE, formados por los tres componentes $(E_y,H_x,H_z)$ son independientes de los modos TM, y consisten en $(H_y,E_x,E_z)$ .

Si los dos conjuntos de ecuaciones son independientes entre sí, sólo tienes que considerar tres ecuaciones y tres variables a la vez. Puedes trabajar libremente en la resolución de las magnitudes del modo TE sin tener en cuenta los valores de las magnitudes TM. Lo mismo ocurre con las magnitudes del modo TM, puedes resolverlas sin tener en cuenta los valores del modo TE. Si sólo trabajas con tres componentes de campo a la vez y no te importan las demás, puedes poner las otras a cero. Entonces el conjunto completo de ecuaciones se reduciría sólo al modo que estás considerando. Esto es válido para ambos modos. No es que haya dos conjuntos de soluciones exactamente, sino que las soluciones se disocian en dos grupos que no tienen nada que ver entre sí, por lo que eres libre de considerar estos grupos de forma independiente. Poner el otro grupo a cero es una forma de imponer matemáticamente esta elección de ingestión del otro grupo.

Los campos en general tendrán las seis componentes, pero cuando vayas a hacer los cálculos, sólo tendrás que resolver para tres componentes a la vez. Esto es lo que quiere decir tu texto sobre dos conjuntos de ecuaciones autoconsistentes.

Answer 4

Su confusión está bien justificada. Los modos TE y TM no son soluciones rigurosas de las ecuaciones de Maxwell. Por eso te cuesta entender por qué ciertas componentes pueden ponerse a cero sin más. No pueden. Esto es sólo una aproximación para facilitar el análisis.

Sin embargo, son muy buenas aproximaciones. He realizado un modelado riguroso de las guías de ondas y los componentes que se ponen a cero son muchos órdenes de magnitud más pequeños que los componentes del campo primario.