Demostrar que no existe $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ tal que $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\{kx_{i}\}-\frac{1}{2}\right)^2>\frac{1}{12}-\frac{1}{6n}$

Question

La siguiente pregunta parece muy interesante, tal vez por una cuestión de expectativas.

Demostrar que: para cualquier número real $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$, $k\in\{1,2,\cdots,n\}$ tal que $$\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(\{kx_{i}\}-\dfrac{1}{2}\right)^2>\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{6n},$$ donde $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$.

Answer 1

No es una respuesta completa, pero dos espero que interesantes interpretaciones geométricas.

El problema no es trivial sólo para $n\geq 3$.
Vamos $X=(x_1,\ldots,x_n)$. $X,2X,\ldots nX$ son colineales sobre una línea a través del origen en $\mathbb{R}^n$, y tenemos que demostrar que al menos uno de estos puntos es lo suficientemente lejos de $E=\left(\frac{1}{2},\ldots,\frac{1}{2}\right)+\mathbb{Z}^n$, precisamente, a una distancia de $\geq\sqrt{\frac{n}{12}-\frac{1}{6}}$. Por otro lado, si asumimos que $X,2X,\ldots,nX$ de toda la mentira en $F$ $\sqrt{\frac{n}{12}-\frac{1}{6}}$ barrio de $E$, $F\cap\frac{F}{2}\cap\ldots\cap\frac{F}{n}$ no puede ser vacío. La distancia entre la $\left(\frac{1}{2},\ldots\frac{1}{2}\right)$$\left(\frac{1}{4},\ldots\frac{1}{4}\right)$$\frac{\sqrt{n}}{4}$, por lo tanto, si $F_\rho$ $\rho$- barrio de $E$$\rho<\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{n}}{4}=\frac{\sqrt{n}}{6}$$F_\rho\cap\frac{F_\rho}{2}=\emptyset$. Mediante la imposición de ese $\frac{F_\rho}{a}\cap\frac{F_\rho}{b}\neq\emptyset$ cualquier $a,b\in[1,n]$ podemos mejorar esas atado hasta alcanzar la quería conclusión.

Como alternativa, podemos cubrir $(0,1)^n$ $n-1$ conjuntos de $A_1,A_2,\ldots,A_{n-1}$ con el mismo diámetro de la $d$. Por el principio del palomar, al menos, dos puntos entre los $X,2X,\ldots,nX\pmod{1}$ pertenecen a la misma $A_j$, por lo tanto, por la linealidad hay algún punto entre $X,2X,\ldots,nX$, con una distancia de $< d$$\mathbb{Z}^n$, por lo tanto con una distancia de $\geq\frac{\sqrt{n}}{2}-d$$E$.

Podría ser útil tener en cuenta que $$ \left(\{x\}-\frac{1}{2}\right)^2 =\frac{1}{12}+\sum_{m\geq 1}\frac{\cos(2\pi m x)}{\pi^2 m^2}$$ Dejando $x_0=0$ $z_i=e^{2\pi i x_i}$ la pregunta puede reformularse de la $$\text{For some }k\in[1,n],\qquad p_k=\sum_{i=0}^{n}\text{Re}\,\text{Li}_2(z_i^k)>0. $$ Supongamos que el opuesto de la desigualdad de $p_k\leq 0$ mantiene para cualquier $k\in[1,n]$ " y considerémonos $$ f(u) = \sum_{m\geq 1}-\frac{p_m}{m}u^m=\text{Re}\sum_{m\geq 1}-\frac{u^m}{m}\sum_{i=0}^{n}\sum_{h\geq 1}\frac{z_i^{mh}}{h^2}=\sum_{i=0}^{n}\text{Re}\sum_{h\geq 1}\frac{-\log(1-uz_i^h)}{h^2}. $$ Por la suposición de que todos los coeficientes de $f(u)$ $u^n$ son no-negativos.
Por formalmente exponentiating ambos lados $$\exp\left(\frac{6}{\pi^2}f(u)\right) = \prod_{i=0}^{n}\prod_{h\geq 1}\frac{1}{|1-uz_i^h|^{\frac{6}{\pi^2 h^2}}}=\frac{1}{|1-u|}\prod_{i=1}^{n}\prod_{h\geq 1}\frac{1}{|1-uz_i^h|^{\frac{6}{\pi^2 h^2}}} $$ donde el módulo de la LHS es$\gg 1+o(|u|^n)$$u\to 0$. Esto le da $$ \prod_{i=1}^{n}\prod_{h\geq 1}\frac{1}{|1-uz_i^h|^{\frac{6}{\pi^2 h^2}}} \gg |1-u|\left(1+o(|u|^n)\right) $$ conduce a una contradicción para $u\to 0^+$ o $u\to 0^-$.