¿Cuál es la forma correcta de definir una función? (codominio y subjetividad)

Question

Esta es una definición común de una función (por ejemplo, La Wiki sigue esta definición ):

A relación entre series $A$ y $B$ es cualquier subconjunto $R \subseteq A \times B$ . Decimos que esta relación es una función si satisface la propiedad $$ (a,b_1) \in R \text{ and }(a,b_2) \in R \implies b_1 = b_2 $$

Esta definición de función es buena para la mayoría de los propósitos. Ciertamente, podemos encontrar el dominio y el rango de una función definida de esta manera. También nos permite responder a preguntas como

¿Es el conjunto $\{(1,2),(2,5),(3,5)\}$ ¿una función? (respuesta: sí)

Con esta definición, podríamos pasar a definir el dominio y el rango de una función. Sin embargo, el problema de esta definición es que no incluye la noción de codominio. Esto supone un problema cuando queremos responder a una pregunta como

¿Son las funciones $f:\Bbb R \to \Bbb R$ dado por $f(x) = x^2$ y $g:\Bbb R \to [0,\infty)$ dado por $g(x) = x^2$ la misma función? (respuesta: no)

Por un lado, las "gráficas" de la función son las mismas. Si creemos que estas funciones son simplemente subconjuntos de un producto cartesiano, entonces deberíamos decir que $f = g$ ya que ambos son simplemente el conjunto $\{(x,x^2) : x \in \Bbb R\}$ . Por otro lado, nos gustaría decir que "la función $g$ es suryente, pero la función $f$ no es". Si la subjetividad es una propiedad de las funciones, entonces el hecho de que $f$ y $g$ no comparten esta propiedad debería significar que $f \neq g$ .

Entonces, ¿qué pasa? ¿Existe un escenario en el que ambas cuestiones estén bien planteadas? Si alguien tiene una referencia que maneje bien todo esto, se lo agradecería.

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Editar: Aparentemente, la Wiki tiene una discusión sobre este tema aquí

Answer 1

Olvídate de las funciones por un momento y vuelve a la definición de una relación.

Una relación entre un primer conjunto $A$ con un segundo conjunto $B$ es cualquier subconjunto de $A \times B$ . El conjunto $A$ se denomina dominio de la relación y el conjunto $B$ se llama el codominio.

Por definición, cuando se mira cualquier relación $\tau$ no es sólo un subconjunto de un producto cartesiano. Tiene un mapa,

Dominio( $\tau$ ) = $A$
Codominio( $\tau$ ) = $B$

Parte de la definición/estructura de una relación es este concepto subyacente de dominio y codominio. No se puede "olvidar".

Si tiene alguna función $f$ entre $A$ y $B$ puede definir una nueva función entre $A$ y $f(<A>)$ . Esta es ahora una función suryectiva. ¿Cómo quieres llamar a esta función? Si no hay peligro de meterse en problemas, ¿qué tal $f$ ?.

Así que esto es parte de la definición. Si quieres puedes decir,

Consideremos el "gráfico funcional" de $y = x^2$ en $\Bbb R \times \Bbb R$ .

o

Consideremos el "gráfico funcional" de $y = \sqrt x$ en $\Bbb R \times \Bbb R$ .

Dependiendo de su público, esto puede estar bien y nadie se va a poner nervioso por los dominios y codominios. Véase wikipedia Codomain se puede "culpar" a Nicolas Bourbaki de esto.

Answer 2

Al leerlo más detenidamente, he descubierto cómo el texto del que enseño resuelve esta paradoja.

En efecto, una función se considera igual a su gráfico. En lugar de decir que una función es inherentemente suryectiva/onto, el texto opta por definir la frase $f$ es "en $B$ " para significar que $f$ es suryente cuando $B$ se toma como codominio. Si establecemos un codominio escribiendo $f:A \to B$ entonces "onto/surjetivo" significa "onto $B$ ".

Así que, efectivamente, existe un marco válido. Renunciamos a la noción de que la subjetividad es una propiedad de una función, pero creo que es un compromiso razonable.