Algunas larga pregunta sobre natural de las transformaciones de la categoría de teoría, y el doble de los objetos

Question

Así que soy bastante nuevo en álgebra, y mi instructor utiliza a menudo los términos de la categoría de teoría (como Hom-conjunto de transformaciones naturales, etc) que no estoy familiarizado con. Como un intento de tener una mejor comprensión sobre el tema, he puesto esta pregunta.

Pregunta 1: Hay "morfismos" que mi libro de texto(Herstein)definen como "funciones" (con algunas propiedades específicas). Pero tengo la sensación de que esta definición es algo inadecuado en que morfismos que en realidad son funciones (morfismos entre conjuntos).

Entonces, ¿cómo hace uno para definir con PRECISIÓN (en el lenguaje de la teoría de conjuntos) una de morfismos?

Pregunta 2: por Lo que hay lo que se denomina "natural transformaciones" que aparecen con bastante frecuencia en mi conjuntos de problemas. ¿Cómo se determina PRECISAMENTE cuando un isomorfismo es natural? Por ejemplo, yo sé que un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$ es isomorfo a su doble, $V^*$, pero este isomorfismo no es natural en el sentido de que uno debe elegir un "antinatural" base para la construcción de tal isomorfismo. Sin embargo, $V\cong V^{**}$ natural, donde $V^{**}$ es el doble doble. Pero parece que este tipo de "definición" es un tanto ad hoc, ya que hay muchos isomorphisms no involucran el concepto de base...

Pregunta 3: Así que he mencionado ya, el doble de espacio vectorial, el conjunto de todos los funcionales lineales. Pero, ¿cómo construir una "doble objetos"? He visto que pueden co-cosas hasta ahora: codimension, cokernel, subproducto, etc. Hay un preciso y UNIVERSAL definición se puede aplicar para obtener estos dos objetos?

Muchas gracias de antemano

Answer 1

1) no Hay ninguna definición de morfismos. Hay una definición de la categoría, y una categoría se compone de objetos y morfismos. Que es lo que morhpisms. Al igual que no hay ninguna definición de lo que un vector es. Hay una definición de espacio vectorial. Así, un vector es (precisamente) lo cual es un elemento de algún espacio vectorial. Del mismo modo, una de morfismos es (precisamente) de lo que es una de morfismos en alguna categoría.

2) La definición precisa de una transformación natural es algo que usted debería ser capaz de encontrar en cualquier texto en categorías. Una construcción es natural, cuando corresponda a una transformación natural entre algunos relevantes functors, entre algunas de las categorías pertinentes. El doble doble de la construcción es, naturalmente, isomorphis a la identidad functor (para finito dimensionales espacios vectoriales), y esto puede ser demostrado mediante las siguientes definiciones. Cualquier particular, la elección de un isomorfismo entre el $V$ $V^*$ puede ser demostrado a fallar la condición de una transformación natural, y por lo tanto no es natural. De manera informal, esto tiene que ver con la dependencia de una base, pero esto es sólo un tecnicismo de este caso en particular.

3) No existe una noción general de una dualizing objeto en una categoría, pero esto no captura todos los casos de dualidades en las matemáticas.

Answer 2

El otro cartel ya dio una buena respuesta, explicando algunas de sus preguntas, así que me gustaría recomendar que recoger Aluffi de álgebra de texto. Se enseña álgebra y la categoría de la teoría de forma simultánea desde el basico, y a mi personalmente me encanta. Sin embargo, toma un tiempo para introducir cosas como las naturales transformaciones y adjunctions, y simplemente pasa por alto los detalles sobre estos temas, por lo que me permito sugerir que usted también consigue un texto de referencia en la categoría de la teoría a mirar a través de así. Simmons es muy fácil y suave introducción, y cubre la mayoría de los elementos esenciales. Awodey es un poco más difícil, pero en mi opinión es a menudo más claro y perspicaz de Simmons, y también cubre más de contenido.