Si $f(x) = \sin^4 x+\cos^2 x\;\forall x\; \in \mathbb{R}\;,$ $\bf{Max.}$ $\bf{Min.}$ valor de $f(x)$

Question

Si $f(x) = \sin^4 x+\cos^2 x\;\forall x\; \in \mathbb{R}\;,$ $\bf{Max.}$ $\bf{Min.}$ valor de $f(x).$

Mi Solución:: Vamos A $$\displaystyle y = \sin^4 x+\cos^2 x \leq \sin^2 x+\cos^2 x=1$$

Y para cantidad Mínima, tomamos $$\displaystyle y = \sin^4 x+\cos^2 x=(1-\cos^2 x)^2+\cos^2 x$$

Por lo $$\displaystyle y=\cos^4 x-\cos^2 x+1 = \left(\cos^2 x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$$

Así, obtenemos $\displaystyle y=\sin^4 x+\cos^2 x\in \left[\frac{3}{4}\;,1\right]$

Mi pregunta es ¿Cómo podemos encontrar Min. de $f(x)$ otros entonces el método,

Algo Así Como El Uso De La Desigualdad.,Gracias

Answer 1

Tenemos $$\begin{align} f(x) & = \sin^4(x) + \cos^2(x) = \sin^4(x) + 1 - \sin^2(x) = 1 - \sin^2(x)(1-\sin^2(x))\\ & = 1-\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \dfrac{\sin^2(2x)}4 \end{align}$$ Confío en que usted puede rematar desde aquí.

Answer 2

$$\cos^4x-\cos^2x=\cos^2x(\cos^2x-1)=-\sin^2x\cos^2x=-\dfrac{(2\sin x\cos x)^2}4=-\dfrac{\sin^22x}4$$

Real $x,0\le\sin^22x\le1\iff-1\ge-\sin^22x\ge0$

En caso de que usted no sabe de doble ángulo de fórmula, $(\sin x\pm\cos x)^2\ge0\iff-1\le2\sin x\cos x\le1$

Answer 3

Si establecemos $\sin^2 x=u\in[0,1]$ tenemos que encontrar min/max de: $$g(u) = u^4-u^2+1, \tag{1}$$ o simplemente el estudio de la función: $$f(v) = v^2-v+1 \tag{2}$$ en el intervalo de $[0,1]$. Así que sólo tenemos una parábola con el mínimo alcanzado en el vértice $v=\frac{1}{2}$ y el máximo alcanzado en los extremos de $[0,1]$.