Para cualquier irreductible variedad $X$ punto $x$$X$, dim$\mathscr{T}(X)_x \geq$ dim$X$, con igualdad mantiene en un denso abierto subconjunto de $X$

Question

Para cualquier irreductible variedad $X$ punto $x$ en $X$, $\mathrm{dim}\mathscr{T}(X)_x \geq \mathrm{dim}X$, con la igualdad sostiene en una densa abrir subconjunto de $X$.

Aquí, $\mathscr{T}(X)_x$ denota el espacio de la tangente de $X$$x$. Deje $\mathscr{O}_x$ ser el anillo local de $x$, e $\mathscr{m}_x$ su ideal maximal, entonces $\mathscr{T}(X)_x$ se define como el doble de espacio vectorial $(\mathscr{m}_x/\mathscr{m}_x^2)^*$$\mathscr{O}_x/\mathscr{m}_x$.

Parte de la prueba es como sigue:

$K(X)$ es un separadamente generado extensión de $K$, es decir, $K(X)$ es un separables algebraicas extensión de un subcampo $L=K(t_1, \cdots, t_d)$, siendo este último el puramente trascendental $K$. El teorema del elemento primitivo que nos permite encontrar un único generador, $t_0$ de la extensión de $K(X)/L$. Deje $f(T_0) \in L[T_0]$ ser su polinomio mínimo. De esta forma se define una función racional $f(T_0, T_1, \cdots, T_d) \in K(T_0, T_1, \cdots, T_d)$, definidas en una afín a abrir subconjunto de $\mathbb{A}^{n+1}$, donde su conjunto de ceros $Y$ es una hipersuperficie con la función de campo de $K(Y)$ isomorfo a $K(X)$. Algunos no vacío abierto pone en $X$ $Y$ son isomorfos. Los puntos de $y \in Y$ donde $\mathrm{dim} \mathscr{T}(Y)_y = \mathrm{dim}Y$ forman una densa abrir subconjunto de $Y$, por lo que, en particular, $\mathrm{dim}\mathscr{T}(X)_x = \mathrm{dim}X$ $x$ en algunos denso abierto subconjunto de $X$.

Hay tres afirmaciones que no puedo entender.

1. ¿Por qué es $K(Y)$ igual a $K(X)$?
2. ¿Por qué hay cualquier vacío isomoarphic abierto pone en $X$$Y$? (¿Hay alguna birational de morfismos entre el$X$$Y$?)
3. ¿Por qué los puntos de $y \in Y$ donde $\mathrm{dim} \mathscr{T}(Y)_y = \mathrm{dim}Y$ forman una densa abrir subconjunto de $Y$?

Esta en la página 40 de James E. Humphreys' Algebraicas Lineales Grupos. Muchas gracias.

Answer 1

Considerar la homomorphism $K(X)\to K(Y)$ que se lleva a $t_i$ a la función $T_i$ restringido a $Y$ (básicamente $t_i\mapsto t_i$). El homomorphism descrito es, obviamente, hacia, y ya no es el cero homomorphism, debe ser inyectiva.

Podemos ver que $f$ es irreductible, porque si $f(T_0,\ldots,T_d)=G(T_0,\ldots,T_d)H(T_0,\ldots,T_d)$, debido a la minimality de $f$ como un polinomio de $T_0$, podemos asumir que $H(T_0,\ldots,T_d)$ sólo depende de $T_1,\ldots,T_d$. Desde $f$ es monic, debemos tener la $H=1$.

Para tu segunda pregunta, ya que el $K(X)\simeq K(Y)$, $X$ $Y$ son birational, y por lo tanto tienen isomorfo abrir subconjuntos.

Para la tercera pregunta, considere la tangente bundle $\Theta=\{(a,x)\in \mathbb{A}^s\times X:a\in\mathscr{T}_x\}$ (donde $\mathscr{T}_x$ es el espacio de la tangente de $X$$x$). Este es un conjunto cerrado, ya que si $X$ está definido por las ecuaciones $F_1=\cdots=F_m=0$, $\Theta$ está definido por las ecuaciones $d_xF_1(a)=\cdots d_xF_m(a)=0$ donde $d_xF_i$ es el diferencial de $F_i$$x$. Tenemos que la segunda proyección de $\pi:\Theta\to X$ es un mapa, y es también surjective. Por la dimensión de la teoría, tenemos que existe un entero positivo $a_X$ tal que para cada $x\in X$, $\dim\mathscr{T}_x=\dim \pi^{-1}(x)\geq a_X$, y los puntos de $x$ donde $\dim\mathscr{T}_x=a_X$ es un abierto denso subconjunto de $X$ (ver Shafarevich, "Básicos de la Geometría Algebraica: Variedades Proyectivas Espacio", Teorema 7, página 76). Los puntos que satisfacen esta igualdad se llaman nonsingular puntos de $X$.

A ver que $a_X=\dim X$, usamos ese $X$ $Y$ son birational. Tenemos que el conjunto de nonsingular puntos de $Y$ es abierto y denso (porque de lo que acabamos de decir). Es fácil de caracterizar la nonsingular puntos de una hipersuperficie en $\mathbb{A}^{n+1}$ (como es el caso de $Y$): Tenemos que $\mathscr{T}_{y,Y}$ está dado por la ecuación de $\sum_{i=1}^{n+1}\frac{\partial f}{\partial T_i}(y)(T_i-y_i)=0$ (donde $y=(y_1,\ldots,y_{n+1})$). Supongamos que $y$ es nonsingular. A continuación, $a_Y=\dim Y=n-1$ si y sólo si no todas las $\partial f/\partial T_i$ no son idénticamente 0 $Y$ (desde una variedad definida por una ecuación tiene dimensión $n+1$ o $n$, en este caso). Si estamos en característica cero, si todas estas derivadas parciales son 0, tendríamos que $f$ es constante (que claramente no lo es). Si estamos en el carácter $p>0$, $f=g^p$ para algunos polinomio, que no es el caso ya que las $f$ es irreductible. Por lo tanto, los derivados no son idénticamente cero, y por lo tanto tenemos que $\dim\mathscr{T}_{Y,y}=a_Y=\dim Y=\dim X$ (desde $X$ $Y$ son birational).

Desde $X$ $Y$ tienen dos isomorfo abrir subconjuntos, tomamos $y$ nonsingular en la isomorfo subconjunto de $Y$. Tenemos que $\dim\mathscr{T}_{Y,y}=a_Y=\dim Y=\dim X$. Desde la dimensión del espacio de la tangente es invariante bajo isomorfismo, tenemos que el espacio de la tangente del punto correspondiente en el $X$ es igual a $\dim X$, y el teorema queda demostrado.

Es que lo suficientemente claro? Hay detalles que todavía no entienden?