$\Omega$ abierto conectado de $\mathbb{R}^N$ y $K\subset \Omega$ compacto, entonces $c u(x) \le u(x')\le C u(x)$ $u$ armónico

Question

Deje $\Omega$ ser conectado a un abierto de $\mathbb{R}^n$ e $K\subconjunto \Omega$ a compact. Show that there exists constants $c>0$ and $C>0$, dependiendo únicamente de la $K$, de tal forma que si $u$ es una función armónica en $\Omega$, $u\ge 0$, luego

$$c u(x) \le u(x')\le C u(x), \forall x,x'\in K$$

Mi intento:

Deje $x\in K$ e $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in I}\subset \mathbb{R}^n$ conjunto abierto

$K\subset \cup_{\alpha\in I}U_{\alpha}\implies$ existe $U_{\alpha_1}, \cdots, U_{\alpha n}$ tal que $K\subset \cup_{i=1}^n U_{\alpha i}$

lo que implica que no existe $U_{\alpha i}$ para algunos $i\in\{1,\cdots,n\}: x\in U_{\alpha i}$ que impies que $\exists r_i>0$ tal que $B_{ri}(x)\subseteq U_{\alpha i}$

Deje $\overline{r_i}:=\min\{dist(k,x), r_i\}$ entonces por la desigualdad de Harnack

$$\left(\frac{\overline{r_i}-r}{\overline{r_i}+r}\right)^Nu(x)\le u(x') \le u(x)\left(\frac{\overline{r_i}+r}{\overline{r_i}-r}\right)^N,\ \forall x,x'\in B_{\overline{ri}}(x)\subseteq K, \forall 0<r\le \overline{ri}$$

pero no sé cómo concluir mostrando funciona para todos los $x, x'$ y yo también no uso el hecho de que está conectado.

ACTUALIZACIÓN:

He encontrado algo que es casi lo que necesito aquí pero demuestra por $u$ positivo, no $u\ge 0$. Puede ser modificado para demostrar lo que quiero?

ACTUALIZACIÓN:

Puede que alguien me explique esta parte?

Si $x$ es fijo, entonces ¿por $\frac{u(z)}{u(y)}$ es finito? No debería ser $\frac{u(z)}{u(x)}$?

Answer 1

Dado un balón $B\Subset\Omega$, usted sabe por Harnack la desigualdad que $\max_B u \leq C_B \min_B u$.

Dado un conjunto compacto $K\Subset\Omega$, usted tiene $K\subset B_1\cap\dots\cap B_n$ para algunas bolas $B_i\Subset\Omega$. Ahora quiere "pegar" la información para obtener el $\max_K u\leq C_K\min_K u$. Esto implica $$ u(x') \leq \max_K u \leq C_K \min_K u \leq C_K u(x) \qquad \forall x,x'\in K, $$ a partir de la cual también te $C_K^{-1} u(x)\leq u(x')$, por supuesto.

Edit.

Ahora me doy cuenta de que lo que te interesa podría ser en realidad el "pegado". Tú que por encadenamiento. Dado $x,x'\in K$, la construcción de una secuencia $x=x_0,x_1,x_2,\dots,x_m=x'$ de los puntos en $K$ tal que para cada a$i$ ha $x_i,x_{i+1}\in B_j$ para algunos $j$. Entonces $$ u(x_0) \leq C_{B_{i(0)}} u(x_1) \leq C_{B_{i(0)}}C_{B_{i(1)}} u(x_2) \leq \dots \leq C_{B_{i(0)}}\dots C_{B_{i(m-1)}} u(x_m) \leq C_{B_1}\dots C_{B_n} u(x_m). $$ Este rendimientos $C_K \leq C_{B_1}\dots C_{B_n}$.

Edición 2. Cómo construir la cadena?

Fix $x,x'\in K$. Me dicen que hay una secuencia $B_{i(0)},\dots,B_{i(m)}$ tomado de las bolas de arriba, que están cubriendo $K$ tal forma que:

• cada bola es tomado en más de una vez
• $x\in B_{i(0)}$
• $x'\in B_{i(m)}$
• $B_{i(j)}\cap B_{i(j+1)}\neq\emptyset$

Dado esto, simplemente tome $x_j\in B_{i(j)}\cap B_{i(j+1)}$ y aviso de que tiene las propiedades que he dicho antes.

Answer 2

Para la actualización de $u>0$ a $u\geq0$.

Supongamos que la desigualdad de Harnack es cierto para $u>0$ armónico. Escoge un arbitrario armónico de la función $u\geq0$ en $\Omega$. A continuación, $u+\varepsilon$ es positivo armónico para cualquier $\varepsilon>0$. Aplicar la desigualdad de Harnack a $u+\varepsilon$ y, a continuación, enviar a$\varepsilon\to0$.

Answer 3

Si usted sabe el resultado tiene de positivo $u$ puede aplicar el máximo/mínimo de principio: si $u \ge 0$ e $u = 0$ a un punto interior de a$\Omega$ (asumiendo $\Omega$ está conectado), a continuación, $u$ es idéntica a cero. (Teorema 1.8 en el libro que enlaza)

Por lo tanto, a menos que $u$ es idéntica a cero, $u$ alcanza una estrictamente positivo valor mínimo en cualquier compacto $K \subset \Omega$.

Answer 4

Parece que toda la esencia de la prueba que ya se da en los posts anteriores. Así que me limitaré a completar algunos detalles. Desde cualquier $K\Subset \Omega$ está cubierto por un número finito de cerrado bolas $B_j\subset \Omega, j=1,2,\ldots, N$, es suficiente para demostrar la afirmación de que si tanto $K_0,K_1\Subset \Omega$ han Harnack propiedad, a continuación, $K_0\cup K_1$ también ha Harnack propiedad. Aquí, Harnack propiedad de $K$ se refiere a la existencia de $C>0$ tal que $u(x)\leq C u(x')$ para todos los $x,x' \in K$. En el caso de $K_0\cap K_1 \neq \varnothing$, esto es trivial. De lo contrario, supongamos $x_i\in K_i$, $i=0,1$. Desde $\Omega$ es la ruta de acceso conectado, hay un camino de $\gamma:[0,1]\to\Omega$ tal que $\gamma(0) = x_0, \gamma(1) = x_1$. Ya que la imagen de $\gamma$ es compacto, $d=\text{dist}(\gamma,\partial \Omega)$ es positivo. Por otra parte, desde la $\gamma$ es uniformemente continua, se puede encontrar $N\geq 1$ tales que $$ |t-s|<\frac{1}{N} \Rightarrow |\gamma(t)-\gamma(s)| < \frac{d}{10}. $$ Deje $B_j$ ser la bola cerrada de radio $\frac{d}{5}$ centrado en $\gamma(\frac{j}{N})$ para $j=0,1,\ldots, N$. Entonces, por la hipótesis, $B_j$ está contenido en $\Omega$, e $\gamma(\frac{j\pm1}{N}) \in B_j$. Por lo tanto, cada una de las $B_j$ ha Harnack propiedad con coeficiente de $C_j>0$. Deje $A,B>0$ denotar Harnack coeficientes de $K_0$ e $K_1$, respectivamente. De ello se sigue que si $x\in K_0, y\in K_1$, entonces se cumple que $$ u(x) \leq Au(x_0) \leq(\prod_{0\leq j< N} C_j)u(x_1)\leq AB(\prod_{0\leq j< N}C_j)u(y), $$ y $$ u(y) \leq Bu(x_1)\leq B(\prod_{0< j\leq N} C_j)u(x_0) \leq AB(\prod_{0< j\leq N} C_j)u(x). $$ Esta muestra $K_0\cup K_1$ ha Harnack propiedad con coeficiente de $\max\{A,B,AB(\prod_{0\leq j< N}C_j), AB(\prod_{0< j\leq N} C_j)\}$, y la demanda de la siguiente manera.

$\textbf{EDIT:}$ Que pasa por alto actualizado su pregunta. Sí, lo que se encuentra en https://sites.math.washington.edu/~morrow/336_13/HFT.pdf es la prueba de la desigualdad de Harnack. Para ver esto, observe que por el principio de mínima, se tiene que para cualquier armónico $u(x)\geq 0,\forall x\in\Omega$, si hay un $y$ tal que $u(y)=0$, luego tenemos a $u\equiv 0$. Por lo tanto, si $u$ no es la constante $0$, a continuación, $u$ debe ser positivo en $\Omega$. Acerca de $u(z)/u(y)$'s acotamiento, se sigue de $a$z\in B(y,r)\subconjunto de B(x,2r)\subconjunto \Omega. $$Es una consecuencia de la cerrada de la bola de la desigualdad de Harnack.