Si , Probar .

Question

Tengo que hacer el siguiente ejercicio:

Deje $f$ $g$ dos funciones diferenciables tales que $f(0)=g(0)$ $f'(x)\leq g'(x)$ todos los $x$$\mathbb{R}$. Demostrar que $f(x)\leq g(x)$ cualquier $x\geq0$.

Ahora, sé que esto es verdad porque la primera derivada de una función es el coeficiente angular de la función en un punto de $x$. Por eso, $f'(x)\leq g'(x)$ significa, en otras palabras, que la función de $g(x)$ crece más rápido de lo $f(x)$. Creo que esta es la base para un sistema más formal de la prueba, podría alguien ayudarme a encontrar una más formal de la prueba?

Answer 1

Sugerencia: considere la función $h(x) := g(x) - f(x)$, así que el $h(0) = 0$ y $h'(x) \geq 0$ cada $x\geq 0$.

Ahora, para un % fijo $x> 0$, basta aplicar el teorema del valor medio a $h$ en el intervalo $[0, x]$.

Answer 2

$x \ge 0$, Tenemos

$f(x) = f(0) + \displaystyle \int_0^x f'(s) ds = g(0) + \displaystyle \int_0^x f'(s) ds, \tag{1}$

desde $f(0) = g(0)$; y desde $f'(x) \le g'(x)$, tenemos

$\displaystyle \int_0^x f'(s) ds \le \displaystyle \int_0^x g'(s) ds; \tag{2}$

por lo tanto,

$f(x) = g(0) + \displaystyle \int_0^x f'(s) ds \le g(0) + \displaystyle \int_0^x g'(s) ds = g(x). \tag{3}$

Nota: Nota en edición: creo que es justo admitir que se trata de un argumento de "baja tecnología", ya que de hecho asume $f, g \in C^1$. Algo conveniente para el cálculo del primer año. Respuesta de Rigel arriba parece indicar una visión más sofisticada de la materia.