Digamos que tenemos X de la forma (2, 5)
y de la forma (2)
Esto funciona:``
Esperamos que esto funcione sólo si X era de la forma (N, 5) donde N > = 5, pero ¿por qué y cómo?
Regresamos 5 pesos como se esperaba, pero ¿cómo se resuelve este problema?
¿No es como tenemos 2 ecuaciones y 5 incógnitas?
¿Cómo podría solucionar esto numpy?
Debe hacer algo como interpolación para crear ecuaciones más artificiales?...
Mi entendimiento es que numpy.lingalg.lstsq se basa en la LAPACK rutina dgelsd.
El problema es resolver:
$$ \text{minimize} (\text{over} \; \mathbf{x}) \quad \| A\mathbf{x} - \mathbf{b} \|_2$$
Of course, this does not have a unique solution for a matrix A whose rank is less than length of vector $\mathbf{b}$. In the case of an undetermined system, dgelsd provides a solution $\mathbf{z}$ such that:
Ejemplo, si el sistema es $x + y = 1$, numpy.linalg.lstsq volvería $x = .5, y = .5$.
La rutina dgelsd calcula la descomposición de valor singular (SVD) de A.
Voy a esbozar la idea detrás del uso de un SVD para resolver un sistema lineal. La descomposición de valor singular es una factorización de la $U \Sigma V' = A$ donde $U$ $V$ son matrices ortogonales y $\Sigma$ es una matriz diagonal donde la diagonal entradas son conocidos como valores singulares.
La efectiva rango de la matriz $A$ será el número de valores singulares que son efectivamente distinto de cero (es decir, lo suficientemente diferente de cero relativo a la precisión de la máquina, etc...). Deje $S$ ser una matriz diagonal de la no-cero valores singulares. El SVD es así:
$$ A = U \begin{bmatrix} S & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} V' $$
The pseudo-inverse of $Un$ is given by:
$$ A^\dagger = V \begin{bmatrix} S^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} U' $$
Consider the solution $\mathbf{x} = A^\daga \mathbf{b}$. Entonces:
\begin{align*} A\mathbf{x} - \mathbf{b} &= U \begin{bmatrix} S & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} V' V \begin{bmatrix} S^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} U' \mathbf{b} - \mathbf{b} \\ &= U \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} U' \mathbf{b} - \mathbf{b}\\ \end{align*}
Hay básicamente dos casos aquí:
Esta última parte es un poco complicada... es necesario hacer un seguimiento de la matriz de las dimensiones y el uso que $U$ es una matriz ortogonal.
Al $A$ ha filas linealmente independientes (por ejemplo. tenemos una grasa de la matriz), entonces: $$A^\dagger = A'\left(AA' \right)^{-1}$$
For an undetermined system, you can show that the pseudo-inverse gives you the minimum norm solution.
When $Un$ ha columnas linealmente independientes, (ej. tenemos un flaco de la matriz), entonces: $$A^\dagger = \left(A'A \right)^{-1}A'$$
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