Variedades algebraicas que son isomorfas después de un cambio de base

Question

Deje $k$ ser un campo, $\overline{k}$ su algebraica de cierre. Supongamos $X$ es una variedad algebraica $\overline{k}$. Esto significa que $X$ es un sistema con un número finito de cubrimiento por abiertos afín variedades de más de $\overline{k}$. La definición que yo estoy usando para una variedad afín es que es isomorfo a $SpecA$ $A$ finitely generado más de $\overline{k}$.

Estoy tratando de probar que existe un número finito de extensión de $k'$$k$, y una variedad algebraica $Y$ $k'$ de manera tal que el cambio de base de a $Y_{\overline{k}}$ es isomorfo a $X$. Me las he arreglado para probar esto para el caso de que $X$ es afín, ya que, a continuación, $X \cong Spec(\overline{k}[x_1, ..., x_n]/I)$ para algunos finitely generado ideal $I$. Si $I$ es generado por $f_1, ..., f_r$, podemos simplemente añadir sus coeficientes de a $k$ conseguir $k'$, y definir $Y := Spec(k'[x_1, ...,x_n]/I')$, $I'$ generado por $f_1, ..., f_r$$k'$.

Estoy teniendo algunos problemas para pasar al caso general $X = X_1 \cup ... \cup X_l$ finita de la unión de los afines variedades. Por simplicidad, estoy tratando de probar primero para $X = X_1 \cup X_2$, y supongamos $X_1 = Spec(\overline{k}[x_1, ..., x_n]/I_1), X_2 = Spec(\overline{k}[y_1, ..., y_m]/I_2)$.

Lo que he hecho hasta ahora: Denotar $X_1 \cap X_2$ $D(J_1)$ cuando se ve como una subvariedad abierta de $X_1$, e $D(J_2)$ cuando se ve como una subvariedad abierta de $X_2$. Sé que la intersección de abrir afín variedades es afín, por lo tanto $D(J_1), D(J_2)$ son afines.

Es posible, entonces, definir $k'$ mediante la adición de a $k$ todos los coeficientes de los generadores de $I_1, I_2, J_1, J_2$, y como anteriormente definen $Y_1, Y_2$, e incluso $D(J'_1) \subset Y_1$, $D(J'_2) \subset Y_2$ con $D(J'_1)_{\overline{k}} = D(J_1) \cong D(J_2) = D(J'_2)_{\overline{k}}$. Sin embargo, con el fin de pegamento $Y_1$ $Y_2$ juntos, tengo que demostrar que $D(J'_1) \cong D(J'_2)$, y esto es donde estoy atascado. Ni siquiera estoy seguro de cómo construir un "inducida" de morfismos entre ellos.

Así que mi pregunta es Cómo construir $Y$? Estoy en la dirección correcta? Hay otra manera atractiva para hacer frente a este?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Deje $L/K$ ser una extensión de campo, vamos a $X$ $L$- esquema de la finitos tipo. Me dicen que hay un finitely generado extensión de $K \subseteq K'$ $L$ $K'$- $X'$ finito de tipo tal que $X' \otimes_{K'} L \cong X$. Digamos que $X'$ es un modelo de $X$$K'$.

Si $X$ es afín, esto es fácil: El anillo de coordenadas es $L[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r)$ para algunos polinomios $f_i$. Deje $K'$ ser el subcampo generado por todos sus coeficientes. A continuación, el espectro de $K'[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r)$ es una posible elección de $X'$.

Para el caso general, tenemos un Lema: Si $X,Y$ $K$- planes de finito tipo y $X \otimes_{K} L \to Y \otimes_{K} L$ es una de morfismos, entonces hay una finitely generado extensión de $K \subseteq K'$ $L$ y un morfismos $X \otimes_{K} K' \to Y \otimes_{K} K'$, lo que induce a una determinada (después de aplicar las $\otimes_{K'} L$). Este morfismos es único y se llama un modelo de más de $K'$. Si $X \otimes_K L \to Y \otimes_K L$ es un abierto de inmersión, a continuación, $X \otimes_{K} K' \to Y \otimes_{K} K'$ es también abierta la inmersión.

Suponiendo que el Lema que ostenta, cubrir nuestros $L$- $X$ por un número finito afín $L$-esquemas $X_i$. Por el afín caso, tienen modelos a través de algunas finitely generado extensión de $K$. Ya que hay sólo un número finito, encontramos una sola extensión de $K'$ que funciona para todos ellos. Usando el Lema, después de la ampliación de $K'$ también encontramos modelos de abrir inmersiones $X_i \cap X_j \to X_i$$K'$. Usando el Lema de nuevo y la ampliación de $K'$, el isomorfismo canónico $X_i \cap X_j \cong X_j \cap X_i$ ascensores para un isomorfismo de los modelos de más de $K'$. El cocycle condición se cumple debido a la singularidad de la declaración en el Lema. Ahora tenemos un encolado dato sobre$K'$, y obtener un $K'$- $X'$ finitos tipo. Por construcción, no ha $X' \otimes_{K'} L \cong X$.

Ahora, permítanme esbozar la prueba del Lema. Por la singularidad, podemos, obviamente, reducir, para el caso de que $X,Y$ son afines. Decir $X$ es el espectro de $K[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r)$ $Y$ es el espectro de $K[y_1,\dotsc,y_m]/(g_1,\dotsc,g_s)$. A continuación, tenemos una $L$-álgebra homomorphism $L[y_1,\dotsc,y_m]/(g_1,\dotsc,g_s) \to L[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r)$. Las imágenes de la $y_i$ son polinomios en $x_1,\dotsc,x_n$$L$, por lo tanto se encuentran en una finitely generado extensión de $K$ dentro $L$. La relación que las imágenes de la $g_i$ encuentran en el ideal generado por a $f_1,\dotsc,f_r$ es presenciado por un número finito de polinomios. La adición de sus coeficientes, obtenemos un finitely generado extensión de $K \subseteq K'$ $L$ y por la construcción de un homomorphism de $K'$-álgebras $K'[y_1,\dotsc,y_m]/(g_1,\dotsc,g_s) \to K'[x_1,\dotsc,x_n]/(f_1,\dotsc,f_r)$, lo que eleva el dado uno más de $L$. Es única, ya que $K' \to L$ es fielmente plana. Esto también muestra que la propiedad de ser una "inmersión" que desciende de lo $L$$K'$. De hecho, es bien sabido que abrir inmersiones satisfacer fpqc descenso. Para el campo de las extensiones no son más directos argumentos, por supuesto, pero voy a dejar esto para el lector.