Colectivo localmente euclidiano pero no topológico

Question

Tengo problemas para resolver una parte de uno de los ejercicios iniciales del libro clásico de Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" (ejercicio I.3.1). Para ser más concretos, se pide demostrar que $X = A \cup B\cup C$ , donde $A=\lbrace(x,y):x\geq 0, y=1\rbrace \subset \mathbb{R^{2}}$ , $B=\lbrace (x,y):x\geq 0, y=-1\rbrace \subset\mathbb{R^{2}}$ y $C=\lbrace (x,y) : x<0,y=0\rbrace\subset\mathbb{R^{2}}$ es localmente euclidiana, pero no es un colector. La topología considerada es la topología del subespacio para $C$ , $A\setminus(0,1)$ y $B\setminus(0,-1)$ . Para $(0,1),(0,-1)$ tenemos como base de la vecindad los siguientes conjuntos respectivamente: $\lbrace (x,1):0\leq x <\delta\rbrace \cup \lbrace(x,0):-\delta\leq x <0\rbrace$ y $\lbrace (x,-1):0\leq x <\delta\rbrace \cup \lbrace(x,0):-\delta\leq x <0\rbrace$ con $\delta > 0$ .

He demostrado que no puede ser Hausdorff y que es localmente euclidiano alrededor de cualquier punto de $X$ excepto $(0,1),(0-1)$ . PERO, no puedo encontrar un homeomorfismo local entre un conjunto abierto de $\mathbb{R}$ y un barrio de $(0,1)$ o $(0,-1)$ .

¿Puede alguien ayudarme, por favor? Muchas gracias

Answer 1

Consideremos sólo el punto $p = (0,1) \in A$ El caso de $(0,-1) \in B$ es análogo.

Si denotamos la vecindad de base dada $[-\delta,0[\times \{0\} \cup [0,\delta[\times \{1\}$ de $p$ por $B_\delta$ lo primero que hay que tener en cuenta es que estos barrios no están abiertos en $X$ . De hecho, el punto $(-\delta,0)$ tiene una base de vecindad formada por los conjuntos $U_\eta = ]-\delta-\eta,-\delta+\eta[\times\{0\}$ para un valor positivo suficientemente pequeño $\eta$ desde el $C$ la topología es la del subespacio, y ninguno de los $U_\eta$ está contenida en $B_\delta$ .

Denotemos por $N_\varepsilon$ , para $\varepsilon > 0$ el barrio $]-\varepsilon,0[\times \{0\} \cup [0,\varepsilon[\times\{1\}$ de $p$ . Es un barrio de $p$ desde $B_{\varepsilon/2} \subset N_\varepsilon$ y, de hecho, es un barrio abierto de $p$ ya que $N_\varepsilon \cap C$ y $N_\varepsilon \cap (A\setminus\{p\})$ son ambos abiertos en la topología del subespacio, por lo que todos los puntos de $N_\varepsilon\setminus\{p\}$ también son puntos interiores.

Entonces, para cada $\varepsilon > 0$ el mapa

$$\varphi_\varepsilon \colon N_\varepsilon \to ]-\varepsilon,\varepsilon[; \quad \varphi_\varepsilon((x,y)) = x$$

es un homeomorfismo.

Para demostrar que $\varphi_\varepsilon$ es continua en cualquier punto $(x,y) \in N_\varepsilon$ distinguimos los tres casos $x < 0$ , $x > 0$ y $x = 0$ .

Para $x < 0$ tenemos $\varphi_\varepsilon^{-1}(]x-\delta,x+\delta[) = ]x-\delta,x+\delta[\times \{0\}$ para $0 < \delta < \min \{ \lvert x\rvert, \varepsilon - \lvert x\rvert\}$ y que es un barrio de $(x,0)$ en $X$ .

Para $x > 0$ y $0 < \delta < \min \{x, \varepsilon - x\}$ tenemos $\varphi_\varepsilon^{-1}(]x-\delta, x+\delta[) = ]x-\delta,x+\delta[\times \{1\}$ y que es un barrio de $(x,1)$ en $X$ .

Para $x = 0$ y $0 < \delta < \varepsilon$ tenemos $\varphi_\varepsilon^{-1}(]-\delta,\delta[) = N_\delta$ y que también es un barrio de $p = (x,1)$ en $X$ .

Así que $\varphi_\varepsilon$ es continua. Su inversa $\psi_\varepsilon$ también es continua, ya que

• $\psi_\varepsilon^{-1}(]x-\delta,x+\delta[\times\{0\}) = ]x-\delta,x+\delta[$ es una vecindad de $x$ para $x < 0$ y $0 < \delta < \min \{ \lvert x\rvert, \varepsilon - \lvert x\rvert\}$ ,
• y $\psi_\varepsilon^{-1}(]x-\delta,x+\delta[\times\{1\}) = ]x-\delta,x+\delta[$ es una vecindad de $x$ para $x > 0$ y $0 < \delta < \min \{ x, \varepsilon - x\}$ ,
• y $\psi_\varepsilon^{-1}(N_\delta) = ]-\delta,\delta[$ es una vecindad de $0$ si $0 < \delta < \varepsilon$ .