¿Cuántos elementos de orden 3 en este conjunto de 2 × 2 matrices?

Question

Deje $M$ ser un grupo, $M=\bigg \{ \bigg( {\begin{array}{cc} a & b \\ 0 & c \\ \end{array} } \bigg)\bigg| a,c \in \mathbb{Z}_3\setminus \{0\}, b\in \mathbb{Z}_3 \bigg \}$

Los elementos de $M$ a de orden 3 son ${\bigg(\begin{array}{cc} 1 & b \\ 0 & 1 \\ \end{array}\bigg) }$.

Pensé que esos eran ${\bigg(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\bigg) }, {\bigg(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\bigg) },{\bigg(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\bigg) }$, since $b \in \mathbb{Z}_3$.

Pero mi hoja de respuestas no menciona ${\bigg(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}} \bigg ) de dólares, pero eso es sólo un error en la hoja, a la derecha? O he entendido algo?

Answer 1

El orden de

$$ me = \left (\begin{matrix} 1 & 0 \ 0& 1 \end{matriz} \right) $$

es 1 no 3 desde $I^1 = e$ $e$ dónde está el elemento de identidad.

Answer 2

$$\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}$ $ es la identidad y como tal tiene orden, no 3.