Hace $L^p$ -implican una convergencia puntual para $C_0^\infty$ ¿funciones?

Question

En los apuntes de mi profesor se dice que, dada una secuencia $\{f_j\}$ de $C_0^\infty(\Omega)$ (infinitamente diferenciable con soporte compacto), y una función $g\in C_0^\infty(\Omega)$ , todos definidos en un conjunto abierto $\Omega\in\mathbb{R}^n$ :

$$\|f_j-g\|_{L_p(\Omega)}\to0\implies|f_j(x)-g(x)|\to0\,\forall x\in\Omega$$

Sin embargo, no pude probarlo. Buscando en Internet, encontré muchos contraejemplos a la afirmación de que $L^p$ -implica la convergencia puntual, pero no se ocupan de $C_0^\infty(\Omega)$ funciones, por lo que también puede ser cierto. ¿Puede alguien indicar una prueba o un contraejemplo?

Answer 1

La afirmación es incorrecta. $L^p$ -convergencia (para $p < \infty$ ) no implica la convergencia puntual incluso para funciones suaves con soporte compacto.

Un ejemplo fácil es la función de contracción de la protuberancia, si $f \in C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$ tiene $f(0) \neq 0$ , entonces la secuencia $(f_j)$ donde $f_j(x) = f(j\cdot x)$ converge a $0$ en $L^p$ pero $f_j(0) = f(0)$ para todos $j$ .

Ni siquiera hay convergencia puntual en casi todas partes, como ocurría en el ejemplo anterior. Si se toma una función con soporte compacto $f$ que toma el valor $1$ en todo el hipercubo unitario (cualquiera que sea la dimensión del espacio), y luego encoger el soporte escalando con $\frac1k$ y luego se mueve alrededor de la función escalada para que el valor $1$ meseta cubre todo el hipercubo (por lo que primero tiene $2^d$ traduce la escala por $\frac12$ seguido de $3^d$ traduce la escala por $\frac13$ entonces $4^d$ traduce ...) antes de la siguiente contracción, se tiene una secuencia que sí converge a $0$ en $L^p$ pero no en ningún punto del hipercubo unitario.

Sin embargo, $L^p$ La convergencia siempre (suave o no) implica la existencia de una subsecuencia que converge puntualmente en casi todas partes a la $L^p$ función de límite.