¿Cuando es integral en $\mathbb{R}^n$ finito?

Question

He encontrado este ejercicio en la prueba de examen, dado que en años anteriores, creo que el programa del curso ha cambiado porque no sé cómo abordar el ejercicio.

Hasta ahora he estudiado a partir de un análisis de la perspectiva de Colectores, sucesiones y series de funciones, convergencia uniforme, multiplicadores de Lagrange y los límites en $\mathbb R^n$.

El ejercicio es determinar por cual $\alpha \ge 0$

$$\int_{A^{\alpha}} \frac{1}{\| (x, y, z) \|^2} \, dx \, dy \, dz$$ is $< \infty$ where $^\alpha = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid 1 \le z \le (x^2 + y^2)^{- \alpha /2} \}$

Tengo curiosidad de cómo esto se puede solucionar, si alguien quiere ser tan amable de explicar a mí me sería muy feliz. Debe haber algunos teoremas que intervienen, no sé, me imagino.

Answer 1

$\alpha>0$: $x^2+y^2> 1$, Tenemos $1/(x^2+y^2)^\alpha

$\alpha=0$ $A^\alpha$ Es el plano ${z=1}$. En $\mathbb{R}^3$ tiene Lebesgue medida $0$, por lo que la integral es cero.