Los datos básicos sobre $\mathbb{R}[x,y].$

Question

Hay todo este material básico sobre $\mathbb{R}[x,y]$ que no conozco, y esto repercute negativamente en mi capacidad para enseñar, por ejemplo, matemáticas de 10º y 11º curso de forma eficaz.

Así que dejemos $R$ denotan un anillo. Un resultado bien conocido dice que si $R$ es un UFD, entonces $R[x]$ también lo es. Esto nos dice que $\mathbb{R}[x,y]$ es un UFD. Así que los elementos primos son lo mismo que los elementos irreducibles, y cada elemento de $\mathbb{R}[x,y]$ factores de forma única como producto de dichos elementos. Eso es todo lo que sé. Así que, aquí hay algunas preguntas diseñadas para ayudarme a remendar mis conocimientos.

• ¿Son los elementos irreducibles en $\mathbb{R}[x,y]$ conocidos y fáciles de describir, y si es así, ¿cuáles son? Cuando se trata de una variable, el discriminante nos dice todo lo que necesitamos saber, por supuesto.

• Parece que tanto el "polinomio del círculo" $x^2+y^2-1$ y el "polinomio de la hipérbola" $x^2-y^2-1$ son ambos irreducibles en $\mathbb{R}[x,y]$ . ¿Es eso correcto? Si es así, ¿cómo lo sabemos?

• A riesgo de hacer una pregunta sin sentido:) suponiendo que ambos sean irreducibles, ¿por qué el locus cero de $x^2+y^2-1$ conectado, pero el locus cero de $x^2-y^2-1$ ¿no?

• En términos más generales, ¿podemos decir algo sobre los loci cero de los polinomios irreducibles que, digamos, pueda entender un estudiante de secundaria?

• ¿La homogeneización nos ayuda de alguna manera? Si es así, ¿cómo?

Answer 1

(1) El anillo polinómico $K[x]$ sobre un campo $K$ es un anillo euclidiano, es decir, se pueden realizar divisiones con resto. Por lo tanto, los elementos irreducibles y primos son lo mismo. Pero obsérvese que incluso en este caso los irreducibles no son en general fáciles de describir: considere el caso $K=\mathbb{Q}$ . La estructura del campo $K$ desempeña un papel. Para $K=\mathbb{R}$ las cosas son sencillas debido al teorema fundamental del álgebra y al hecho de que los números complejos son una extensión de grado 2 de los reales.

El anillo polinómico $\mathbb{R}[x,y]$ puede considerarse como un subring del anillo polinómico $\mathbb{R}(x)[y]$ , donde $\mathbb{R}(x)$ es el campo de las funciones racionales en $x$ con coeficientes reales, un campo que es en cierto sentido tan complejo como los números racionales. Los irreductibles de $\mathbb{R}(x)[y]$ por lo tanto, no son fáciles de describir.

Por otro lado un resultado de Gauß dice: un polinomio $f=a_ny^n+a_{n-1}y^{n-1}+\ldots +a_0\in\mathbb{R}[x,y]$ , $a_k\in\mathbb{R}[x]$ relativamente primo, es irreducible si y sólo si es irreducible en $\mathbb{R}(x)[y]$ .

(2) Una buena comprobación de la irreducibilidad es el criterio de Eisenstein: sea $A[y]$ sea un anillo polinómico en $y$ sobre la UFD $A$ . Si los coeficientes $a_k$ del polinomio $f=y^n+a_{n-1}y^{n-1}+\ldots +a_0\in A[y]$ son divisibles por un primo $p\in A$ y $a_0$ no es divisible por $p^2$ entonces $f$ es irreducible.

Aplique esto para $A=\mathbb{R}[x]$ y $p=x-1$ y $p=x^2+1$ para obtener la irreductibilidad de $y^2+x^2-1$ y $y^2-x^2-1$ .

(3) Supongamos que se dibuja un irreducible $f$ al azar de $\mathbb{R}[x]$ . Entonces puede o no tener una raíz real resp. $n$ raíces reales, $n$ el grado de $f$ . Normalmente, algunas raíces son números complejos no reales. De forma similar para el lugar cero de un irreducible $f\in\mathbb{R}[x,y]$ El lugar cero: el lugar cero $C(f)$ de $f$ en $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ es siempre un conjunto infinito - una llamada curva algebraica plana. Tenemos los mapas

$ \mathbb{R}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}\times\mathbb{C},\; (a_1,a_2)\mapsto (a_1+0i,a_2+0i) $

y

$ \mathbb{C}\times\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2,\; (a_1+ib_1,a_2+ib_2)\mapsto (a_1,b_1,a_2,b_2). $

Utilizándolos podemos considerar el lugar cero $C(f)$ como un subconjunto de $\mathbb{R}^4$ . La intersección

$ C(f)\cap\{(a_1,0,a_2,0) : a_1,a_2\in\mathbb{R}\} $

consiste en los puntos de $C(f)$ con coordenadas reales ("ceros reales"). Según la posición geométrica de $C(f)$ en el espacio $\mathbb{R}^4$ esta intersección puede o no estar vacía o conectada.

(4) Un dato interesante para los estudiantes de secundaria: dejemos $f,g\in\mathbb{R}[x,y]$ sean dos polinomios irreducibles tales que $f\neq cg$ para todos $c\in\mathbb{R}$ entonces la intersección de sus lugares cero es finita y limitada desde arriba por $\deg(f)\deg(g)$ . O en otras palabras: el sistema de ecuaciones de polinomios

$f(x,y)=0, g(x,y)=0$

tiene como máximo $\deg(f)\deg(g)$ soluciones.

Answer 2

Lo que preguntas es esencialmente lo básico de la geometría algebraica clásica. En lugar de responder a tu pregunta directamente, me gustaría discutir dos cosas que tu pregunta me hizo pensar.

En primer lugar, hay un montón de fenómenos extraños que ocurren porque $\mathbb R$ no es algebraicamente cerrado. Las cosas son sustancialmente más sencillas cuando se trabaja sobre los números complejos. De repente, el lugar cero de $y^2-x^2-1$ no son dos ramas, sino una hoja gigante. Lo que ocurre es que tienes un trozo de la hoja que contiene dos partes separadas. Además, el mapa $(a,b)\mapsto (ia,b)$ da una biyección entre los puntos de sus ejemplos de hipérbola y círculo. Dos objetos que parecían diferentes son en realidad el mismo si se cambia la perspectiva, lo que tiene consecuencias interesantes.

En segundo lugar, la homogeneización es muy útil. No sé cuál es tu formación, pero es probable que hayas estudiado la compacidad y hayas visto las cosas maravillosas que se pueden hacer con ella. Si has visto cómo se puede añadir un punto en el infinito al plano euclidiano para hacer una esfera (un ejemplo de la compactación de un punto), sabes que a veces podemos entender mejor las cosas sustituyéndolas por versiones compactas, en las que las cosas se comportan ligeramente mejor.

Resulta que la homogeneización da un análogo algebraico de la compactación. Dado un campo $k$ , defina $n$ espacio proyectivo dimensional sobre $k$ \mathbb P^n(k) para ser el cociente de $k^{n+1}-0$ por la relación de equivalencia $(a_0,a_1,\ldots, a_n)\sim (\lambda a_0, \lambda a_1,\ldots, \lambda a_n)$ para $\lambda \in k-\{0\}$ . Cuando $k=\mathbb R$ esto es lo mismo que tomar el $n$ -Esfera de dimensiones y la identificación de los puntos antipodales.

Cada punto del espacio proyectivo se divide en dos conjuntos, aquellos en los que $a_0=0$ y aquellos en los que $a_0\neq 0$ . Para los puntos de este último tipo, cada punto es equivalente a un punto único de la forma $(1,a_1,a_2,\ldots, a_n)$ . Por lo tanto, el espacio proyectivo puede ser pensado como tomando $k^n$ que se encuentran junto a los puntos de la forma $[0:a_1:a_2:\ldots:a_n]$ "en el infinito" (donde la notación representa la clase de equivalencia del punto). Esta es una forma algebraica de compactar $k^n$ .

¿Qué tiene esto que ver con la homogeneización? Supongamos que $f$ es un polinomio homogéneo de grado $d$ en $n+1$ variables. Entonces $f(\lambda x)=\lambda^d f(x)$ y, por lo tanto, si $x$ es una raíz de $f$ entonces también lo es $\lambda x$ . Esto significa que el lugar cero de $f$ puede considerarse que vive en $\mathbb P^n(k)$ en lugar de vivir en $k^{n+1}$ .

Además, dado un polinomio $g$ en $n$ variables, podemos formar sus homogeneizaciones $\widetilde{g}$ en $n+1$ y (dejando $x_0$ sea la nueva variable), $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0 \Leftrightarrow \widetilde{g}(x_0,x_1,\ldots, x_n)=0$ . Por lo tanto, el lugar cero de $\widetilde{g}$ en el espacio proyectivo es el lugar cero de $g$ con puntos añadidos en el infinito.

Entonces, ¿por qué nos importa? Una de las razones es que la adición de estos puntos en el infinito puede simplificar las cosas, al igual que la adición de puntos complejos. Las cosas que parecían diferentes pueden verse como diferentes vistas del mismo objeto. Pero también pueden ocurrir otras cosas. Como ejemplo, pongo el teorema de Bezout.

Teorema: Dejemos que $f,g \in \mathbb C[x,y]$ de grados $m$ y $n$ y supongamos que $f$ y $g$ no tienen factores no triviales en común. Entonces, considerando las intersecciones en el espacio proyectivo y contando adecuadamente las multiplicidades de la intersección (por ejemplo, la curva $y=x^3$ se cruza con la curva $y=0$ con multiplicidad $3$ en $(0,0)$ ), los loci cero de $f$ y $g$ se cruzan exactamente en $mn$ puntos.

Compárese con el resultado dado por Hagen. Le gustaría que el número de puntos de intersección estuviera más que limitado por el producto de los grados. Desgraciadamente, algunos puntos de intersección son complejos, pero incluso teniendo en cuenta éstos, a veces dos curvas pueden intersecarse en el infinito (por ejemplo, en el plano proyectivo cada par de rectas tiene un único punto de intersección, pero si tomamos dos rectas paralelas, se intersecan en el infinito). Así, añadiendo puntos complejos y puntos en el infinito, podemos reforzar el vínculo entre el lado algebraico y el lado geométrico.