La única raíz de nuestro polinomio es $\alpha$ de la extensión $\mathbb{Q}$ ( $\alpha$ ).

Question

Estoy buscando una respuesta detallada paso a paso si es posible ya que tengo un examen mañana un papel pasado preguntas se da por:

Sea un número real $\alpha$ sea una raíz del polinomio $g= X^5+9X^3+3X-15$ . Donde $E=\mathbb{Q}$ ( $\alpha$ ).

He determinado $\mathbb{Q}$ ( $\alpha$ ) ={ $\sum^4_0 a_i$ $\alpha^i$ , $i$ $\in$ $\mathbb{Q}$ }. Es decir $a_0$ + $a_1\alpha^1$ ...+ $a_4\alpha^4.$ También he demostrado que g es irreducible en $\mathbb{Q}$ Sin embargo, no tengo claro cómo demostrar que la única raíz de g en E es $\alpha$ . Mi profesor insinuó que el polinomio sólo cruza el $x$ eje una vez puede expandirse?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Considere la función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definido por $g(x) = x^5 + 9x^3 + 3x - 15$ .

Observar $g'(x) = 5x^4 + 27x^2 + 3$ que siempre es positivo: una potencia par es mayor o igual que cero, y estás sumando dos potencias pares junto con el número $3$ . Así que, en particular, usted tiene que $g'(x) \geq 3$ para todos $x \in \mathbb{R}$ lo que significa que $g$ es siempre creciente.

Pero si $g$ es monótonamente creciente, entonces (teniendo en cuenta que toma valores tanto negativos como positivos) sólo puede tener un $x$ -intercepción, que sólo corresponde a un raíz real. Sea $\alpha \in \mathbb{R}$ sea esta raíz. Entonces las otras cuatro raíces son todas imaginarias, lo que significa, en particular, que ninguna de las cuatro raíces imaginarias está contenida en $\mathbb{Q}(\alpha) \subset \mathbb{R}$ .