El primer grupo de homología es Abelianization de grupo Fundamental.

Question

Estoy tratando de entender la prueba de la siguiente hecho de Hatcher Topología Algebraica, sección 2.Una.

Teorema. Deje $X$ ser una ruta de acceso conectado espacio. A continuación, el abelianization de $\pi_1(X, x_0)$ es isomorfo a $H_1(X)$.

Estoy teniendo problemas para entender el último paso de la prueba.

Paso 1. Primero definimos un mapa de $h:\pi_1(X, x_0)\to H_1(X)$ que envía el homotopy clase $[f]$ de un bucle $f$ $x_0$ a la homología de clase del ciclo de $f$. Se verifica que este es un grupo bien definido homomorphism. Más $h$ es surjective.

Paso 2. Ahora desde $H_1(X)$ es abelian, el mapa de $h$ factores a través de la abelianization $\pi_1(X, x_0)^{ab}$$\pi_1(X, x_0)$.

Paso 3. La parte principal es mostrar que la inducida por el mapa de $\pi_1(X, x_0)^{ab}\to H_1(X)$ es inyectiva. Para ello tenemos que mostrar que si un bucle $f$ $x_0$ $X$ es un límite, a continuación, $f$ se encuentra en el colector de un subgrupo. Desde $f$ es un límite, hemos singular $2$-simplices $\sigma_i$ tal que $f=\partial(\sum_i n_i\sigma_i)$. Tenemos $\partial \sigma_i = \tau_{i0} - \tau_{i1} + \tau_{i2}$ donde $\tau_{ij}$'s son en singular simplices obtenidos mediante la restricción de $\sigma_i$ sobre los bordes de la norma $2$-simplex.
Hatcher muestra que uno puede asumir que cada una de las $\tau_{ij}$ es un bucle basado en $x_0$.

Paso 4. Este paso es donde tengo el problema. Hatcher escribe "el Uso de la notación aditiva en el grupo abelian $\pi_1(X, x_0)^{ab}$, tenemos la fórmula $[f]=\sum_{i, j}(-1)^jn_i[\tau_{ij}]$ debido a la cancelación de los pares de $\tau_{ij}$'s. Podemos reescribir la suma $\sum_{i, j} (-1)^j n_i[\tau_{ij}]$ $\sum_i n_i [\partial \sigma_i]$ donde $[\partial \sigma_i]=[\tau_{i0}]-[\tau_{i1}]+[\tau_{i2}]$. Desde $\sigma_i$ da nullhomotopy de los compuestos de bucle $\tau_{i0}-\tau_{i1}+\tau_{i2}$, llegamos a la conclusión de que $[f]=0$$\pi_1(X, x_0)^{ab}$."

Me parecen no entender nada en el párrafo citado más arriba. Puede alguien elaborados en que? El aditivo de la notación es especialmente confuso. Así que si es posible por favor, utilice la notación multiplicativa. Gracias.

Answer 1

Yo no entiendo mucho de el último párrafo, pero voy a dar un poco diferente de la prueba de la instrucción basada en Bredon, la Topología y la Geometría, p. 174.

Para cada punto de $x\in X$, arreglar un camino de $\lambda_x$$x_0$$x$. Deje $\sigma$ ser un singular 1-simplex en $X$, es decir, un continuo camino de $\sigma\colon[0,1]\to X$. A continuación, $\Psi(\sigma):=\overline{\lambda_{\sigma(1)}}\cdot\sigma\cdot\lambda_{\sigma(0)}$ es un bucle basado en $x_0$, donde el punto es la yuxtaposición de rutas y de $\overline\lambda(t)=\lambda(1-t)$ es el camino inverso. Afirmo que esto induce a una bien definida mapa de $\Psi_*\colon H_1(X)\to\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$, de tal manera que $\Psi_*h\colon\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ es la proyección canónica. De esto se sigue que $h$ induce un monomorphism $\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}\to H_1(X)$.

Primera definedness: Desde $\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ es abelian, $\Psi$ se extiende a un homomorphism $\Psi\colon\Delta_1(X)\to\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ desde el grupo de singular 1-cadenas. Ahora es muy sencillo comprobar que los límites de singular 2-simplices ir a cero en $\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ I puede elaborar sobre esto si te gusta), por lo $\Psi$ induce un homomorphism $\Psi_*\colon H_1(X)\to\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ como se reivindica.

Ahora si $\sigma$ es un bucle basado en $x_0$$\Psi(h(\sigma))=\overline{\lambda_{x_0}}\cdot\sigma\cdot\lambda_{x_0}$, y la clase de este en $\pi_1(X,x_0)^{\text{ab}}$ es igual a la clase de $\sigma\cdot\overline{\lambda_{x_0}}\cdot\lambda_{x_0}\simeq\sigma$, por lo que el $\Psi_*h$ es la proyección canónica.

Answer 2

Yo soy de la prueba por Hatcher que el OP contornos.

El primer punto importante es el siguiente, una vez que han comprobado que el $f = \Sigma_{i,j}(-1)^jn_i\tau_{i,j}$ 1-ciclo de $f$, es necesario recordar que el grupo de 1-cadenas (que contiene el 1-ciclos como un subgrupo) es el $\mathbb{Z}$-módulo (es decir, el libre grupo abelian) en el set de continuo mapas de$\Delta_1$$X$. Por lo tanto, en particular, a cada elemento de a $f$ de este grupo como una única expresión de la forma $n_1f_1+\ldots +n_pf_p$ $n_i\in\mathbb{Z}$ $f_i$ un mapa continuo de$\Delta_1$$X$. Así, a partir de la igualdad de $f = \Sigma_{i,j}(-1)^jn_i\tau_{i,j}$ a la conclusión de que, como señaló Hatcher (tercer párrafo final), que $f$ es uno de los $\tau_{i,j}$'s y el resto de $\tau_{i,j}$'s del formulario de cancelación de pares. Esto le permite afirmar que esta igualdad entre homotopy clases de $[\Sigma_{i,j}(-1)^jn_i\tau_{i,j}] = \Sigma_{i,j}(-1)^jn_i[\tau_{i,j}]$. Pero $\Sigma_{i,j}(-1)^jn_i[\tau_{i,j}] = \Sigma_in_i[\partial\sigma_i]$.

El segundo punto importante consiste en señalar el hecho de que, $\sigma_i$ siendo un singular 2-simplex con límite dado por $\tau_{i0} -\tau_{i1} +\tau_{i2}$, continuamente se puede deformar de este límite, a través de $\sigma_i$, en la constante bucle en $x_0$. Por lo tanto, uno tiene las siguientes igualdades entre homotopy clases de $[\partial \sigma_i] = [\tau_{i0}]-[\tau_{i1}]+[\tau_{i2}]=0$.

Ahora, el tercer punto, es necesario darse cuenta de esta última igualdad es $[\tau_{i2}] = -([\tau_{i0}]-[\tau_{i1}])$, o en notación multiplicativa como desee $[\tau_{i2}]=([\tau_{i0}][\tau_{i1}]^{-1})^{-1}$. Por lo tanto $[\partial\sigma_i]=[\tau_{i0}] -[\tau_{i1}] +[\tau_{i2}]$, siendo un elemento seguido por su inversa, pertenece al subgrupo conmutador y por lo $\Sigma_in_i[\partial\sigma_i]=[f]$ hace, lo que significa que $[f]$ es trivial en $\pi(X,x_0)_{ab}$.