Ecuación diferencial $y''=y^2$

Question

Debo resolver la ecuación diferencial $y''=y^2$ . Es evidente que la función $y=0$ es una solución. Entonces, supongamos que $y$ no es idénticamente cero. Si no me equivoco, existe un truco para resolver ecuaciones de este tipo. Si multiplico por $2y'$ el miembro izquierdo es $2y'y''$ es decir, la derivada de $(y')^2$ mientras que el miembro derecho es $2y^2 y'$ . Llegados a este punto, ¿cómo puedo continuar con este ejercicio?

Answer 1

$$y''=y^2$$ $$2y''y'=2y^2y' \quad\to\quad (y')^2=\frac23 y^3+c_1 \quad\to\quad y'=\pm\sqrt{\frac23 y^3+c_1}$$ $$\pm\frac{dy}{\sqrt{\frac23 y^3+c_1}}=dt \quad\to\quad t+c_2=\pm\int\frac{dy}{\sqrt{\frac23 y^3+c_1}}$$ Esta integral es de tipo elíptico y puede expresarse en forma cerrada gracias a la función elíptica : http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegral.html

La función $t(y)$ es bastante feo y además hay que invertirlo para obtener $y(t)$ . Esta es, con mucho, la forma más sencilla.

De hecho, la ODE : $$(y')^2=\frac23 y^3+c_1$$ es un caso de ecuación de Weierstrass, cuyas soluciones son las funciones de Weierstrass $\wp$ . http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassEllipticFunction.html

La forma general de la ecuación de Weierstass es : $$(\wp'(x))^2=4(\wp(x))^3-g_2\wp(x)-g_3$$ En el presente caso, con $\quad y=\sqrt[3]6\:\wp \quad\;\quad x=\frac{t}{\sqrt[3]6}\quad\;\quad g_2=0\quad\;\quad g_3=-c_1 \quad$ que conduce a : $$y(t)=\sqrt[3]6\: \wp\left(\frac{t+C_2}{\sqrt[3]6} \:;\: 0 \:,\:C_1\right)$$ où $C_1$ y $C_2$ son constantes arbitrarias.

Answer 2

Debemos resolver $y'' = y^2$ . Suponiendo que la variable independiente sea $x$ escribamos esto como:

$\frac{d^2y}{dx^2} = y^2$ . Entonces, usando la regla de la cadena, podemos escribir el lado izquierdo como:

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d}{dy} \left(\frac{dy}{dx}\right) \frac{dy}{dx}$ .

Pero, esto es equivalente a:

$\frac{d}{dy} \left[ \left(\frac{dx}{dy}\right)^{-1}\right] \left( \frac{dx}{dy}\right)^{-1}$ .

Calculando esta derivada, obtenemos:

$-\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-2} \frac{d^2 x}{dy^2} \left( \frac{dx}{dy}\right)^{-1} = -\left(\frac{dx}{dy}\right)^{-3} \frac{d^2x}{dy^2}$ .

Pero, esto es simplemente:

$\frac{d}{dy} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dy}\right)^{-2}\right]$ .

Ahora, volvemos a tu ODE original:

$\frac{d^2 y}{dx^2} = y^2$ podemos escribir como:

$\frac{d}{dy} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dy}\right)^{-2}\right] = y^2$

Integrar ambas partes wrto $y$ , obtenemos:

$\frac{1}{2} \left( \frac{dx}{dy}\right)^{-2} = 2 \int y^2 dy + A$ donde $A$ es sólo una constante.

Resolución de $dx/dy$ Lo entendemos:

$\boxed{x + B = \pm \int \frac{dy}{\sqrt{2 \int y^2 dy + A}}}$ .

El lado derecho es una integral muy desordenada, obtienes algunas funciones elípticas, de hecho, Mathematica da que el lado derecho es: $\frac{\sqrt[6]{-1} 2^{2/3} \sqrt[12]{3} \sqrt[3]{A} \sqrt{(-1)^{5/6} \left(\frac{\sqrt[3]{-\frac{2}{3}} y}{\sqrt[3]{A}}-1\right)} \sqrt{\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^{2/3} y^2}{A^{2/3}}+\frac{\sqrt[3]{-\frac{2}{3}} y}{\sqrt[3]{A}}+1} F\left(\sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{-\frac{i y \sqrt[3]{-\frac{2}{3}}}{\sqrt[3]{A}}-(-1)^{5/6}}}{\sqrt[4]{3}}\right)|\sqrt[3]{-1}\right)}{\sqrt{A+\frac{2 y^3}{3}}}$ ,

où $F$ denota la integral elíptica de primer tipo.

En general, la ecuación recuadrada es la general implícito solución a este problema. Este tipo de EDO se da constantemente en la mecánica clásica y, en la mayoría de los casos, se resuelve numéricamente o mediante técnicas de sistemas dinámicos.

Espero que le sirva de ayuda.

Answer 3

SUGERENCIA. $$2y'y''=2y'y^2$$ $$(y')^2=\frac23(y^3)'$$ ahora $y^3=z$ .

Answer 4

Escriba a

$$y'y''=y^2y'$$ e integrar:

$$\frac{y'^2}2=\frac{y^3}3+C,$$ que es separable. Entonces

$$\frac{y'}{\sqrt{y^3+C}}=\pm\sqrt{\frac23}.$$

Ahora, a menos que $C=0$ la integral izquierda es terrible.

Answer 5

Sugerencia

Utilice $p=\frac {dy}{dx}$ y $p'=\frac {dp}{dy}$ para este tipo de oda...

Entonces resuelve $$pp'=y^2$$ $$\int pdp=\int y^2dy$$ O simplemente considéralo: $$\frac {dy'}{dx}=y^2$$ $$\frac {dy'}{dx}\frac {dy}{dy}=y^2$$ $$\int y' {dy'}=\int y^2dy=\frac {y^3} 3+K$$