suma de potencias 4 º 14 y suma de 14 cubos

Question

Demostrar que $4(x_1^4 + x_2^4 + x3^4 + \dots + x{14}^4) = 7(x_1^3+ x_2^3 + x3^3 + \dots + x{14}^3)$ no tiene solución en números enteros positivos.

Sugerencia: Supongamos que por el contrario $\sum_{k=1}^{14} {(x_k^4 - \frac74 x_k^3)} = 0$. también uso $\sum(x_k-1)^4$

Answer 1

es positiva excepto en $f(x) = 4x^4 - 7x^3$$f(0)=0$ y $f(1)=-3$. Sólo el más pequeños de los valores positivos, $f(2)=8$ y $f(-1)=11$, son consistentes con $\sum f(x_i) \leq 0$, otro % entero $f(x)$pasarían a avasallar el caso extremo donde $13$ $14$ valores son $-3$.

El problema es una pequeña búsqueda finita desde este punto, y solicitar soluciones positivas deja sólo $f(1)$ y $f(2)$ en el juego.

Answer 2

Permítanme elaborar más sobre zyx la solución.

Desde $f(x) = 4x^4 - 7x^3$ es positivo en todo entero entradas $x \neq 0,1$, la única manera de tener $\sum_{k=1}^{14}f(x_i) = 0$ es bien:

1) $x_i = 0$ todos los $i$ (desde $f(0)=0$).

o

2) Algún número de la $x_i$'s $1$ (debido a $f(1)=-3$ es negativa y así se anulan cualquier contribución positiva de los otros $f$ valores).

Posibilidad de $1$ no es válido, ya que buscamos soluciones positivas. Que nos deja con la posibilidad de $2$.

Supongamos $j$ de la $x_i$ valores $1$. Entonces estamos tratando de solucionar $S = 3j$ donde $S$ es la suma de los $f(x_m)$ que $x_m\neq 1$.

Ahora desde $j\leq 14$ es claro que $0\leq S\leq 42$ $S$ es una suma de enteros no negativos.

Aha! $f$ sólo toma no valores negativos a menos de $42$ $x=-1,0,2$ (). Los valores de $f$ en estos puntos se $11,0,8$ respectivamente.

Así que vamos a $a$ el número de $x_i = -1$ apariciones en $S$, $b$ ser el número de $x_i = 0$ de los casos y $c$ el número de $x_i = 2$ de las ocurrencias.

Entonces estamos resolviendo el sistema:

$S = 11a + 8c = 3j$

$a+b+c = 14-j$

en números enteros $a,b,c,j$$1\leq j \leq 14$$0\leq a,b,c\leq 14$. De hecho, la primera ecuación nos dice que $a=0,1,2,3$, $c=0,1,2,3,4,5$ y que $c \equiv -a \bmod 3$. Esto reduce las posibilidades. Usted sólo necesita comprobar ahora que en cada caso las ecuaciones no pueden ser satisfechos.