Las transformadas de Laplace fueron derivadas de una manera muy extraña por Oliver Heaviside, considerado por muchos como el Padre de la Ingeniería Eléctrica moderna. Creó métodos de "operadores" para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. (El operador 'D' era la notación de Heaviside, y el método algebraico era el suyo, incluyendo el uso de fracciones parciales y su método de 'encubrimiento' para descomponer en fracciones parciales). La mayor parte de lo que hacía no era muy riguroso, pero era brillante, funcionaba y siempre comprobaba sus respuestas. La razón por la que tienes problemas para rastrear la fuente es porque Heaviside era tan arrogante y desagradable con la gente de la época, que se empeñaron vengativamente en mantener su nombre fuera de todo. Sinceramente. Solía insultar abierta y viciosamente a Lord Kelvin. A Heaviside se le prohibió publicar varias veces a lo largo de su vida por sus ataques abiertos a través de los artículos del Journal.
Heavside se propuso deliberadamente convertir la diferenciación en multiplicación, y dio con expresiones que se transformaron en algo parecido a lo que hoy se llama la transformada de Laplace. Pero no empezó como algo llamado transformada de Laplace; cuando la gente encontró expresiones integrales similares a las que Heaviside utilizaba y que podían llevar el nombre de otra persona, aprovecharon la oportunidad para escribir el nombre de Heaviside fuera de ellas. Heaviside se dio cuenta de que los operadores de evolución del tiempo para sistemas invariables en el tiempo (como los circuitos) tenían una propiedad exponencial. Es decir, si el operador de solución actuaba sobre un estado $x$ en el momento $0$ , entonces el estado $S(t)x$ en un momento t segundos después cuando evoluciona de nuevo por $t'$ segundos debe ser el mismo que el estado obtenido al evolucionar el estado original por $t+t'$ segundos. En otras palabras, el operador de la solución satisfaría $S(t')S(t)x=S(t'+t)x$ . Muy abstracto, muy general para tales sistemas, y obviamente llevando a algo exponencial. De ahí viene el exponencial de la transformada de Laplace, ¡y ese es el nivel al que Heaviside trabajaba a finales de 1800! Sus métodos de operadores le permitieron resolver problemas que nadie más podía resolver en ese momento; de lo contrario, la gente de la época habría ignorado gustosamente a Heaviside.
Ahora reconocemos que muchos operadores de solución de ecuaciones diferenciales pueden ser vistos de esta manera abstracta de Heaviside. Por ejemplo, si tenemos la ecuación de Laplace en un medio plano, $x \in\mathcal{R}$ , $y > 0$ y se observa un operador de solución que toma los datos de la frontera $f$ en $y=0$ a una función $g=L(y)f$ en $y > 0$ que es el corte de la solución en $y > 0$ y luego resuelve la ecuación de Laplace con esa nueva función de contorno, y mira el corte $L(y')g=L(y')L(y)f$ de la nueva solución, debería obtener $L(y'+y)f$ . Hay una propiedad exponencial general de los operadores de evolución temporal; y hay una propiedad exponencial general relacionada con la unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace está íntimamente relacionada con estas ideas. $C_{0}$ La teoría de los semigrupos se basa en esta observación, y también está relacionada con la transformada de Laplace. El formalismo del operador se remonta definitivamente a Heaviside.
La mayoría de las transformaciones integrales surgen de "sumas" integrales de funciones propias de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en $[0,\infty)$ o $(-\infty,\infty)$ . Dado que las integrales utilizan funciones propias, estas "transformaciones" convierten el operador original en una multiplicación por el parámetro del valor propio. Por ejemplo, la transformada de Fourier se originó al intentar escribir una función $f$ como una suma integral de funciones propias de $\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ : $$ f(x) = \int_{0}^{\infty}\{a(s)\cos(sx)+b(s)\sin(sx)\}ds $$ El problema era encontrar las funciones de coeficiente $a(s)$ y $b(s)$ en términos de $f$ . Entonces $-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ se convierte formalmente en la multiplicación de las funciones de coeficiente por $s^{2}$ es decir, $$ -f''(x) = \int_{0}^{\infty}\{ s^{2}a(s)\cos(sx)+s^{2}b(s)\sin(sx)\}ds. $$ Esa es la idea detrás de la mayoría de las transformadas integrales: se comienza con un operador diferencial ordinario simétrico $Lf=-\frac{d}{dx}p\frac{d}{dx}f + qf$ se buscan las funciones propias $Lf_{\lambda}=\lambda f_{\lambda}$ y se escribe un general $f$ como sumas integrales y/o discretas de las funciones propias $f_{\lambda}$ sumando sobre $\lambda$ . Una referencia antigua (descatalogada) escrita a nivel de Cálculo Avanzado y que trata de la teoría general de las transformadas integrales es el libro de R.V. Churchill que aparece a continuación con un enlace de Amazon.
R.V. Churchill, "Operational Mathematics": Enlace de Amazon
Página de Wikipedia sobre Heaviside: Oliver Heavside
Resumen de la obra de Heaviside, junto con enlaces a sus publicaciones: Cálculo del operador Heaviside .
Recomiendo encarecidamente la página web de esta persona; es entretenida, informativa y tiene excelentes referencias.
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He querido hacer una pregunta similar. ¿Por qué los libros casi siempre empiezan con la transformada de Laplace y la utilizan para resolver ecuaciones diferenciales? Siempre me queda la duda de cómo se le ocurrió a alguien la idea en primer lugar. Un análogo a las series de potencia es lo más cercano que he llegado a entender.
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@Karl Si realmente quieres una respuesta, deberías publicar esto como una pregunta, en lugar de como un comentario a la pregunta de otra persona.
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@Karl Puedes marcar mi pregunta como favorita. Y de nada. ;)
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@neuguy Voy a plantear una pregunta sobre mi comprensión de las transformadas integrales, pero me temo que se leerá como un embrollo de confusión y recibirá votos negativos. Mientras tanto, voy a protagonizar esto.
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@Karl Una pregunta sobre la motivación de la transformada de Laplace no me parece ni mucho menos una confusión. Además, no te preocupes por los downvotes: ¿qué te importa que un matón anónimo en Internet piense que tu pregunta es estúpida? Además, como se dice, no existe una pregunta estúpida.