Si cada transversal derecha $H$ $G$ también es un transversal izquierda a $H$ $G$, es normal en $H$ $G$.

Question

Deje $H\leq G$.
Un subconjunto $T$ se dice que es un derecho transversal a $H$ en $G$ si $T$ contiene sólo un elemento de cada uno de los derechos coset de $H$ en $G$.

Si todo el derecho transversal a $H$ en $G$ es también una izquierda transversal a $H$ en $G$, a continuación, $H$ es normal en $G$.

Quiero demostrar que para todos los $g\in G, Hg=gH$.
Deje $T=\{t_i\}_{i\in I}$ ser transversal a $H$ en $G$.
A continuación, $\{Ht_i\}$ e $\{t_iH\}$ particiones $G$.
Pero no puedo continuar, como yo no puedo mostrar que $Ht_i=t_iH$.

Tenga en cuenta que el supuesto dado, no significa que todo el derecho coset de $H$ en $G$ es también una izquierda coset de $H$ en $G$.

Answer 1

Supongamos que $H$ no es normal en $G$. Entonces existe $g \in G$ e $h \in H$ tal que $k := g^{-1}hg \not\in H$.

Por lo $g$ e $gk$ están en distintas izquierda cosets de $H$ y por lo tanto puede ser extendida a una izquierda transversal de $H$ en $G$. Pero $gk=hg$, lo $g$ e $gk$ están en el mismo derecho coset, y por lo tanto no puede ser extendido a un derecho transversal.

Entonces si toda la izquierda transversal es un derecho transversal, a continuación, $H$ debe ser normal en $G$.

Answer 2

Revisión arbitraria $a\in H$ e $k\in G$. Considerar el derecho transversal

$$T = \{t_g\} \text{ donde } t_g = \begin{cases} g & g\ne k \\ ak & g = k \end{casos}$$

y tenga en cuenta que desde $T$ es también una izquierda transversal, debemos tener $ak\in kH$. Por lo tanto $k^{-1}ak \in H$ cualquier $k$, lo $g^{-1}Hg\subseteq H$ cualquier $g\in G$. Esto implica que $H$ es normal.

Answer 3

Elija cualquiera de los $g\in G$. Considere la posibilidad de un derecho transversal $\{g,t_i\}$ contiene $g$ para algunos $t_i$'s. Está claro que $g\in Hg$.

Ahora $\{g,t_i\}$ es también una izquierda transversal. Por lo tanto $g$ es en algunas izquierda coset de $H$, $gH$ para ser exactos.

Para cualquier $w\in Hg$, tenga en cuenta que $\{w,t_i\}$ es un derecho transversal, por lo tanto a la izquierda transversal. Desde $t_i$'s de cada invariable ir a los respectivos misma izquierda coset como antes, $w\in gH$.