Producto semidirecto: automorfismo general resulta siempre en una conjugación

Question

Al $G$ es un grupo, $N$ es un subgrupo normal de $G$ $H$ es otro subgrupo de $G$ donde $ N \cap H = \{1\} $, la normalidad de $N$ sugiere que se puede escribir, por $n_1, n_2 \in N$$h_1, h_2 \in H$,

$$ n_1 h_1 n_2 h_2 = n_1 h_1 n_2 h_1^{-1} h_1 h_2 $$

y así motiva la definición de un 'externo' semidirect producto utilizando

$$ (n_1,h_1) (n_2,h_2) = (n_1 h_1 n_2 h_1^{-1}, h_1 h_2). $$

Sin embargo, en general no hay ninguna razón para suponer $\textit{a priori}$ que $N$ $H$ son subgrupos de un grupo más grande $G$, por lo que en general podemos decir que para formar el producto externo necesitamos algunos grupos $N$, $H$, y algunos homomorphism $\phi \colon H \to \textrm{Aut}(N)$ y definir

$$ (n_1,h_1) (n_2,h_2) = (n_1 \phi(h_1)(n_2), h_1 h_2). $$

Yo esperaría que esto daría algo más general que la interfaz externa del producto anterior, ya que ahora estamos utilizando el resultado de un general automorphism $ \phi(h_1)(n_2) $ más que en el específico conjugación $ h_1 n_2 h_1^{-1} $. Pero resulta que para cualquier $\phi$, esto define la conjugación en el grupo $ N \rtimes H$.

Estoy teniendo dificultad para ver por qué esto es intuitivamente. ¿Hay alguna penetración cualquier persona puede dar? ¿Por qué debe el general automorphism en el exterior de la construcción siempre se corresponden con un interior automorphism conjugación en la construcción interna?

Answer 1

El uso de la misma idea. Observar

$$\begin{array}{ll} (n_1,h_1)(n_2,h_2) & =(n_1,e_H)(e_N,h_1)(n_2,e_H)(e_N,h_2) \\ & = (n_1,e_H)\color{Blue}{(e_N,h_1)(n_2,e_H)(e_N,h_1^{-1})}(e_N,h_1,)(e_N,h_2) \end{array} $$

y

$$\begin{array}{ll} (n_1,h_1)(n_2,h_2) & =(n_1\phi_{h_1}(n_2),h_1h_2) \\ & = (n_1,e_H)\color{Blue}{(\phi_{h_1}(n_2),e_H)}(e_N,h_1)(e_N,h_2). \end{array} $$

Esto significa que cuando se conjuga elementos de $N\times\{e_H\}$ por elementos de $\{e_N\}\times H$, podemos obtener la misma cosa como si se aplican los elementos de $H$ automorfismos a $N$, luego ponerlo en $N\times\{e_H\}$.

Las tuplas son molestos y ofuscar el álgebra en mi opinión, aunque. Debemos pensar en el semidirect producto $N\rtimes H$ como el producto libre $N*H$ (cuyos elementos son palabras formadas a partir de el uso de los elementos de $N$ $H$ letras) modulo de la relación que la conjugación de los elementos de $N$ por elementos de $H$ los rendimientos de la misma cosa, como si se aplicó el correspondiente automorphism.

Es decir, los elementos de $N\rtimes H$ look como el de las palabras formadas a partir de los elementos de $N$$H$. Sus elementos de identidad son identificados como el mismo elemento de grupo en $N\rtimes H$. Elementos de $N$ multiplicar entre sí, como de costumbre, y lo mismo para los elementos de $H$ multiplicando entre sí. Pero cada instancia de la palabra $hnh^{-1}$ ($h\in H,n\in N$) puede ser simplificado a $\phi_h(n)$, y que es la única relación impuestas en la multiplicación entre los elementos de los dos subgrupos $N$$H$.

Usando esta definición, es fácil ver que $hn=(hnh^{-1})h=\phi_h(n)h$ $HN=NH$ dentro $N\rtimes H$, y cada elemento de a $H$ puede ser "deslizarse más allá de un" elemento de $N$ a la derecha (a pesar de que cambia el elemento de $N$ a lo largo del camino). Como resultado, cada palabra $\cdots h_{-1}n_{-1}h_0n_0h_1n_1\cdots$ (un número finito de letras de curso) puede ser simplificada a través de este deslizamiento de la regla a la forma canónica $nh$.

Escrito $n_1h_1=n_2h_2$ rendimientos $h_1h_2^{-1}=n_1^{-1}n_2$, pero el único elemento en $N\cap H$ (cuando tratamos $N,H$ como subgrupos de $N\rtimes H$) es la identidad, por lo $h_1=h_2$$n_1=n_2$. Por lo tanto $N\rtimes H$ puede ser bijected con $N\times H$ set-teóricamente. Para el transporte de la multiplicación, se queda por ver cómo $(n_1h_1)(n_2h_2)$ simplifica a $n_3h_3$, que es algo que he esencia ya hecho.