Estoy tratando de resolver el siguiente problema y espero que para algunas ideas útiles sobre cómo abordar este:
En las 3 dimensiones de caso, y para un conjunto dado de valores y vectores propios y valores escogidos $a$ e $b$, $c$, encontrar el conjunto de 3 por 3 matrices que tienen los correspondientes valores propios y vectores propios (si es que existe). Algunos de los elementos de la matriz y de los vectores propios son valores fijos.
Por ejemplo, en las 3 dimensiones de la caja:
Autovalores: $ \lambda_1=3 $, $\lambda_2 = -1$ e $\lambda_3 = 2$
Vectores propios: $v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\a \end{bmatrix} $, $ v_2=\begin{bmatrix} 2 \\ b \\1 \end{bmatrix} $ e $ v_3=\begin{bmatrix} c \\ 0 \\-1 \end{bmatrix} $
La matriz tiene los siguientes elementos fijos: $$ \begin{bmatrix} x_{11} & 2 & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & 1 \\ x_{31} & 3 & x_{33} \end{bmatrix} $$
En otras palabras: digamos que me puse a$a=2$ e $b=-1$ e $c=1$. ¿Cuáles son los posibles matrices con valores fijos $x_{12}=2$,$x_{23}=1$ e $x_{32}=3$ con autovalores $ \lambda_1=3 $, $\lambda_2 = -1$ e $\lambda_3 = 2$ y vectores propios $v_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\2 \end{bmatrix} $, $ v_2=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\1 \end{bmatrix} $ e $ v_3=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\-1 \end{bmatrix} $.
También, sería interesante saber bajo qué circunstancias las soluciones existen y cómo muchas soluciones posibles hay?
Mi primera idea era resolver el autovalor ecuaciones para cada autovalor y autovector: $$ (A-\lambda I)v=0 $$
por ejemplo, para $\lambda_1$ e $v_1 $:
$$ \begin{bmatrix} x_{11}-3 & 2 & x_{13} \\ x_{21} & x_{22}-3 & 1 \\ x_{31} & 3 & x_{33}-3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\2 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\0 \end{bmatrix} $$
Sin embargo, los valores de $x$ debe ser cierto para todos los vectores propios y no sólo para uno. Así que me quedé atrapado (o me estoy perdiendo algo).
Mi segunda idea fue usar el hecho de que una matriz de $M$ puede ser obtenido a la hora de saber los autovectores y autovalores por $M=PDP^{-1}$ donde $P$ es la matriz con los vectores propios como columnas y $D$ la matriz diagonal de valores propios. Sin embargo, esto no toma el cuidado de las restricciones. Pegado de nuevo.
