Demuestre que el espacio cociente es homeomorfo al disco n

Question

Dejemos que $\sim$ denotan la relación de equivalencia en el $n$ -esfera $S^n$ definido a través de $$ (x_1,\dots,x_n,x_{n+1})\sim(x_1,\dots,x_n,x_{n+1})\:\text{ for all }\: (x_1,\dots,x_{n+1})\in S^n. $$

Demuestre que el espacio cociente $S^n/\sim$ es homeomorfo al $n$ -disco $D^n$ .

Sé que tengo que demostrar que existe una función biyectiva $f: (S^n/\sim) \to D^n$ que es continua y que la preimagen $f^{-1}$ es continuo también, pero no puedo avanzar desde aquí, ¿algún consejo?

Answer 1

Una pista: Definir $$\begin{array}{rccc}f\colon&S^n/\sim&\longrightarrow&D^n\\&\bigl[(x_1,\ldots,x_n,x_{n+1})\bigr]&\mapsto&(x_1,\ldots,x_n).\end{array}$$