¿Qué es un ejemplo de un abelian/exacta/nidos categoría en la que se Grothendieck grupo isomorfo a $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$ para algunos $k$? La categoría de finitely generado abelian grupos de Grothendieck del grupo $\mathbb{Z}$. Creo que es fácil de construir categorías con el grupo de Grothendieck $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, por ejemplo, si un generador de $X$ es isomorfo a $X[1]$. Me gustaría construir un ejemplo que tiene el grupo de Grothendieck $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$, idealmente mediante la localización de una categoría ya me entienden.
Respuesta
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Para los nidos de las categorías, hay que ocurren naturalmente ejemplos procedentes de estable módulo de categorías. Por ejemplo, supongamos $A=k[x]/(x^n)$ para un campo $k$. El establo en la categoría de módulo de finitely generadas $A$-módulos (es decir, la categoría formada a partir de la categoría de módulo por factorización por el ideal de mapas que el factor a través de módulos proyectivos, o este puede ser construido como el cociente en el sentido de nidos categorías de la limitada derivada de la categoría $D^b(\text{mod }A)$ por la subcategoría de limitada complejo de perfecto complejos) es un triangula categoría cuyo grupo de Grothendieck es $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Esto es más o menos porque el grupo de Grothendieck de la categoría de finitely módulos generados es $\mathbb{Z}$, generado por la clase de $[k]$ de los unidimensionales módulo, y la clase de la única indecomposable proyectiva módulo es $n[k]$.
Para abelian categorías, no creo que conozco un simple ejemplo de la siguiente.
Deje $R=k\langle x_0,\dots,x_n\rangle$ ser el libre álgebra sobre un campo $k$ a $n+1$ (noncommuting) los generadores. A continuación, la categoría de $\text{mod }R$ de finitely presentado derecho de los módulos es abelian, y el cociente por la Serre subcategoría de finito dimensionales de los módulos tiene grupo de Grothendieck $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
Una prueba se puede encontrar en la Proposición 3.2 de
Ara, Pere, Finitely presentan los módulos a través de Leavitt álgebras., J. Pure Appl. Álgebra 191, N ° 1-2, 1-21 (2004). ZBL1072.16012,
pero la idea es que el grupo de Grothendieck de $\text{mod }R$ es $\mathbb{Z}$, generado por la clase de $[R]$ del módulo normal, y por el teorema de Lewin, cada finito dimensionales módulo de $M$ tiene una resolución libre de $$0\to R^m\to R^s\to M\to0$$ donde $m=n\dim(M)+s$, por lo que la clase de $[M]$ es un múltiplo de a$n[R]$.
