Formas más sencillas de demostrarlo $n^2$ divide un polinomio?

Question

Quiero demostrar que $n^2 \mid P(n)$ , donde $$P(n) = \frac{n^2(n+1)^2(n+2)(n+3)}{48}$$ para cada entero positivo impar $n$ . El enfoque que adopté consistió en demostrar que $\cfrac{P(n)}{n^2}$ es siempre un número entero (para tales $n$ ), pero luego tuve que crear un polinomio aún más complejo y luego demostrar nueve casos diferentes. Aunque proporcionó una prueba válida (por lo que sé), tengo la sensación de que fue más trabajo del que necesitaba.

Así que mi pregunta es: ¿hay pruebas "más simples" para este problema, y cuáles son sus enfoques/métodos? Por más simple me refiero a: probar menos casos, reducir el problema a una forma más simple, etc; básicamente una solución que ocupe menos "espacio" en el papel. (Sé que no es la mejor explicación, ¡lo siento!)

¡Muchas gracias!

Answer 1

No estoy seguro de lo que has hecho, pero mostrar que $$\frac{P(n)}{n^2}=\frac{(n+1)^2(n+2)(n+3)}{48}$$ es siempre un número entero si $n$ es impar es bastante sencillo. Sólo hay que demostrar que $(n+1)^2(n+2)(n+3)$ es siempre divisible por $48=2^4\cdot 3$ . Siempre es divisible por $3$ ya que uno de $n+1,n+2,$ y $n+3$ es un múltiplo de $3$ .

Los factores de $2$ son un poco más complicados pero no están mal. Desde $n$ es impar, $n+1$ y $n+3$ son pares, por lo que $(n+1)^2(n+3)$ da al menos $3$ factores de $2$ . Además, uno de los $n+1$ y $n+3$ es un múltiplo de $4$ , lo que da un factor adicional de $2$ . Así que en total hay al menos $4$ factores de $2$ .

La moraleja aquí es que cuando se piensa en cuestiones de divisibilidad, factor . Mantenemos el numerador de $\frac{P(n)}{n^2}$ en su forma factorizada, para que podamos identificar las contribuciones de cada factor individual. Y para comprobar la divisibilidad por $48$ , lo dividimos en su factorización primaria para poder buscar cada factor primo por separado.

Answer 2

Tenga en cuenta que $(n+1)^2(n+2)(n+3)$ = $(n+1)(n+1)(n+2)(n+3)$ = $(n+1)\Big(\text{Product of 3 Consecutive Integers}\Big)$

Por lo tanto, $3|(n+1)^2(n+2)(n+3)$

Nos queda mostrar 16| $(n+1)^2(n+2)(n+3)$ siempre que $n$ es impar.

Cuando $n$ es impar let $n=2k+1$ para algunos $k \in \mathbb{N} \cup \{0\}$

Entonces $$(n+1)^2(n+2)(n+3)=(2k+2)^2(2k+3)(2k+4)=8(k+1)^2(2k+3)(k+2)=16m$$

Obsérvese que la última afirmación se debe a que el producto implica $(k+1)(k+2)$ que es producto de $2$ enteros consecutivos y, por tanto, divisibles por $2$ .

Answer 3

Sugerencia $\, 3\,$ divide un producto de $3$ números enteros consecutivos ( prueba ), e incluso $\,n\!+\!1 = \color{#0a0}{4k}\,$ o $\,\color{#90f}{4k\!+\!2}\,$ y

$$\color{#c00}{16}\mid \underbrace{(\color{#0a0}{4k})^2}_{\Large\color{#c00}{ 4^2}}(4k\!+\!1)(4k\!+\!2)\ \ \ {\rm and}\ \ \ \color{#c00}{16}\mid \underbrace{(\color{#90f}{4k\!+\!2})^2}_{\Large \color{#c00}{2^2}}(4k\!+\!3)\underbrace{(4k\!+\!4)}_{\Large\color{#c00} 4}$$