¿Si X tiene la propiedad de beta, $(x_i)_i$ puntos son LUR?

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach, $S_X$ su unidad de esfera y $B_X$ su unidad de pelota.

El espacio de $X$ se dice que ha $\beta$ propiedad si existe un sistema de $\{(x_i,f_i):i \in I\} \subset S_X \times S_{X^*}$ e $0 \leq \rho <1$ tales que

(i) $f_i(x_i)=1$, para todos los $i \in I$

(ii) $|f_i(x_j)| \leq \rho$, para todos los $i \neq j$

(iii) $||x|| = \sup\{|f_i(x)|:i \in I\}$, para todos los $x \in X$

Un punto de $x \in S_X$ es llamado localmente uniformemente convexa (LUR) si para cada a$\epsilon>0$ existe $\delta(\epsilon)>0$ tales que

$y \in S_X, \cfrac{||x+y||}{2}>1-\delta(\epsilon) \Rightarrow ||x-y||<\epsilon $

Estoy tratando de demostrar que si $X$ ha $\beta$ propiedad y $\dim X >1$, tales puntos de $(x_i)_{i}$ no puede ser LUR puntos.

Mi primer intento de solución fue tratar de definir una secuencia $(x_n)$ en $S_X$ tal que $||x_n+x_i||$ enfoques $2$ e $||x_n-x_i||$ no $0$. Es fácil ver que si $x \in S_X \cap \ker{f_i}$, $||x-x_i|| \geq 1$, entonces tal vez es una buena idea para definir la secuencia en $S_X \cap \ker{f_i}$.

Es un buen método? Cualquier otras sugerencias?

Answer 1

Suponga $X$ tiene $\beta$ propiedad y $\dim X>1.$ Fix $i\in I.$ El punto de $x_i$ falla la LUR propiedad con $\epsilon=1-\rho.$

Para cualquier $k\in\ker f_i,$ $$\|k\|\leq 1-\rho\implies\|x_i+k\|=1\tag{*}$$ debido a $f_i(x_i+k)=f_i(x_i)=1$ e $|f_j(x_i+k)|\leq|f_j(x)|+|f_j(k)|\leq \rho+\|k\|\leq1.$ (La desigualdad de $|f_j(k)|\leq \|k\|$ proviene de la propiedad (iii).)

Desde $\dim X>1,$ existe $k\in \ker f_i$ con $\|k\|=1-\rho.$ obtenemos un contraejemplo a la LUR propiedad con $\epsilon=1-\rho$ e $y=x+k,$ porque $\|(x+y)/2\|=1$ e $\|y\|=1$ por (*), sino $\|x-y\|=\|k\|=\epsilon.$

Answer 2

Supongamos por contradicción que $X$ tiene $\beta$ la propiedad y que los puntos de $x_i$ son LUR, definir $$ \varepsilon = \frac12 \, \sup_{x \in S_X} \left( \inf_{i \in I} \| \pm x - x_i\| \right), $$ y elija $x_{\varepsilon}$ tales que $$ \inf_{i \in I} \|\pm x_{\varepsilon} - x_i\| \geq \varepsilon, \quad $$ Si $\varepsilon = 0$, entonces existe una larga de $\{x_i\}$, decir $x_{k_i}$, tal que $x_{k_i} \to \pm x_{\varepsilon}$ (a $+ x_{\varepsilon}$o a $- x_{\varepsilon}$) $X$. Pero luego, con el $\beta$ de la propiedad, (i), \begin{align} |f_{k_i}(x_{k_{i-1}})| &= |f_{k_i}(x_{k_i}) + f_{k_i}(x_{k_{i-1}}-x_{k_i})| \\ &\geq |f_{k_i}(x_{k_i})| - \|f_{k_i}\| \, \|x_{k_i} - x_{k_{i-1}}\| \\ &= 1 - \|x_{k_i} - x_{k_{i-1}}\| \to 1 \quad \text{as} \quad i \to \infty, \end{align} contradiciendo la $\beta$ de la propiedad, (ii); por lo tanto, $\varepsilon > 0$. El uso de la $\beta$ de la propiedad, (iii), para cualquier $\alpha > 0$ existe $i_{\alpha} \in I$ tales que \begin{align} |f_{i_{\alpha}}(x_{\varepsilon})| \geq 1 - 2\alpha = \|x_{\varepsilon}\| - 2\alpha. \end{align} Suponga $f_{i_{\alpha}}(x_{\varepsilon}) \geq 0$ (cambio de nombre de $x_{\varepsilon} \rightarrow -x_{\varepsilon}$ si es necesario). Entonces tenemos \begin{align} \frac{1}{2}\| x_{\varepsilon} + x_{i_{\alpha}} \| &\geq \frac{1}{2} f_{i_{\alpha}} (x_{\varepsilon} + x_{i_{\alpha}}) \\ &\geq 1 - \alpha. \end{align} Para obtener una contradicción mediante este razonamiento, no debe existir $\delta(\varepsilon)$ independiente de $i$ tal que la convexidad se satisface la condición. Si $X$ es finito dimensional, esto es posible, ya que sólo puede haber un número finito de $x_i$. Si $X$ es de dimensiones infinitas, supongo que este argumento no es suficiente para la no-uniformemente convexo normas...