¿Esta integral tiene una forma cerrada: $\int_0^1 \frac{x^{\beta-1}}{1-x}\log\frac{1-y x^\delta}{1-y}\mathrm dx$?

Question

Considere la siguiente integral: $$G(\beta,\delta,y) = \int_0^1 \frac{x^{\beta-1}}{1-x}\log\frac{1-y x^\delta}{1-y}\mathrm dx,$$ con $\delta>0$, $\Re\beta>0$, $y\neq1$.

Tiene una forma cerrada en condiciones estándar de funciones especiales?

Si no, ¿cuál es su comportamiento asintótico de cerca el punto de $y=1$? Hay una forma cerrada de expansión del tipo $$G(\beta,\delta,y) = \frac{G_0(\beta,\delta)}{1-y} + G_1(\beta,\delta) + o(1), \qquad (y\to1-)$$ o algo por el estilo?

Hay una forma cerrada si $\frac{1}{\delta}$ es un entero positivo? Hace nada útil suceder si $y$ es una raíz de la unidad?

Contexto. Me encontré con esta integral al intentar responder esta pregunta y también esta pregunta, pero no podría reducir la integral a una forma más simple, excepto por los valores específicos de $\beta=\frac14$$\delta=\frac14$. Al $\delta=\frac14$, una sustitución de $x=y^4$ conduce a una integral con términos logarítmicos y la fracción $\frac{1}{1-y^4}$ que se puede expandir en fracciones parciales, y los términos individuales se pueden integrar más fácilmente, por lo $G(\frac14,\frac14,y)$ puede ser expresada en términos de los registros y polylogs.

Numéricamente, creo que el singular comportamiento de los ser $\propto(\log(1-y))^2$.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa. Sin embargo, el líder de la singular comportamiento es de hecho,$\propto \log(1-y)^2$.

Fijo $\beta, \delta$$\Re(\beta) > 0, \delta > 0$$|y| < 1$. Si uno de ampliar el registro en el integrando, uno obtiene: $$G(\beta\delta,y) = \int_0^1 \frac{x^{\beta-1}dx}{1-x}\left\{\log\frac{1-yx^\delta}{1-y}\right\} = \int_0^1 \frac{x^{\beta-1}dx}{1-x}\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}(1-x^{n\delta})\right\}\etiqueta{*}$$ Aviso para $x \in (0,1)$, siempre que $n\delta \ge 1$, tenemos: $$\left|\frac{1 - x^{n\delta}}{1-x}\right| \le n\delta$$

Esto implica $$\sum_{n=\lceil\delta^{-1}\rceil}^{\infty}\left|\frac{y^n}{n}\left\{\frac{x^{\beta-1}}{1-x}(1-x^{n\delta})\right\}\right| \le x^{\Re(\beta)-1}\frac{\delta |y|}{1-|y|}$$ y, por tanto, las sumas parciales de la expansión es dominado por un Lebseque función integrable. Por Lebesgue del teorema de convergencia dominada, podemos cambiar el orden de la suma y la integración.

$$\begin{align} G(\beta,\delta,y) = &\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n} \int_0^1 \left( \frac{1 - x^{\beta+n\delta-1}}{1-x} - \frac{1 - x^{\beta-1}}{1-x} \right) dx\\ = & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}( \psi(\beta+n\delta)-\psi(\beta))\\ = & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}\left( (\psi(\beta+n\delta) - \psi(n\delta)) + (\psi(n\delta) - \psi(n)) + \psi(n) - \psi(\beta) \right) \end{align}$$ donde $\psi(x)$ es la función digamma.

Deje $\lambda = \max(|\beta|,\delta^{-1},1)$. Al $\beta$ no es demasiado grande y no demasiado lejos del eje real, $$\begin{align} \psi(\beta+n\delta) - \psi(n\delta) = & \beta \psi'(n\delta + \xi \beta)\quad\text{ for some }\xi \in (0,1)\\ = & \frac{\beta}{n\delta} + O(\frac{|\beta|}{n^2\delta^2})\\ \psi(n\delta) - \psi(n) = & (\log(n\delta) - \frac{1}{2n\delta}) - (\log(n) - \frac{1}{2n} ) + O(\frac{\lambda^2}{n^2})\\ = & \log\delta + \frac{\delta-1}{2n\delta} + O(\frac{\lambda^2}{n^2})\\ \psi(n) = & H_{n-1} - \gamma \end{align}$$ donde $H_k$ $k^{th}$ número armónico. Obtenemos:

$$\begin{align} G(\beta,\delta,y) =& \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^{n}}{n}\left\{ H_{n-1} + (\log\delta - \gamma - \psi(\beta)) + \frac{2\beta+\delta-1}{2n\delta} + O(\frac{\lambda^3}{n^2}) \right\}\\ = & \frac12 \log(1-y)^2 + (\gamma + \psi(\beta) - \log\delta)\log(1-y) + O(\lambda^3) \end{align}$$ El $O(\lambda^3)$ término es un término que sigue siendo finito como $y \to 1^{-}$. Si $\lambda$ no es demasiado grande. es decir, $\beta$ no es demasiado grande y $\delta$ no es demasiado pequeño. El límite de la $O(\lambda^3)$ plazo está dado aproximadamente por:

$$\lim_{y->1^{-}} O(\lambda^3) \text{-term} \sim \frac{2\beta+\delta-1}{2\delta}\zeta(2) = \frac{(2\beta+\delta-1)\pi^2}{12\delta}$$