Valores propios y vectores propios de la suma de la matriz simétrica

Question

Pregunta:

Sea A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end {bmatrix}

Encuentra todos los valores propios y vectores propios de la martrix:

PS

Sé que los vectores propios de A son \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end {bmatrix} y \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end {bmatrix} Pero no veo ningún tipo de correlación con el término de suma y los vectores propios de A.

Answer 1

Por linealidad, dado cualquier polinomio $p$ y la matriz de $A$, los vectores propios de a$p(A)$ son los mismos que los vectores propios de a$A$, y los asociados a autovalores son $p(\lambda)$; ver a esta pregunta.

Por ejemplo, en este caso, si $Av=\lambda v$, a continuación, $A^nv=\lambda^nv$, e $(\sum_{n=1}^{100}A^n)v=\sum_{n=1}^{100}(A^nv )=\sum_{n=1}^{100}(\lambda^nv)=(\sum_{n=1}^{100}\lambda^n)v$. Por lo tanto, $v$ es un autovector con autovalor $\sum_{n=1}^{100}\lambda^n$. $A$ tiene vectores propios, los autovalores de a$v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ $\lambda=2$ e $v=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ $\lambda=0$. $p(2)$ es una serie geométrica, por lo que es $2^{101}-1$. $p(0)$ es sólo cero. Por lo $p(A)$ tiene vectores propios, los autovalores de a$v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $ $\lambda=2^{101}-1$ e $v=\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $ $\lambda=0$

Answer 2

Sugerencia: si $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$$then we have $$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\\A^3=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&2 \\ 2&2 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4&4 \\ 4&4 \\ \end{bmatrix}\\A^4=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4&4 \\ 4&4 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&8 \\ 8&8 \\ \end{bmatrix}\\.\\.\\.\\.$$and you can prove by induction that $$A^k=\begin{bmatrix} 2^{k-1}&2^{k-1} \\ 2^{k-1}&2^{k-1}\\ \end{bmatrix}$ $ ¿ puede terminar ahora?

Answer 3

Sugerencia :

Recordar el Cayley-Hamilton Teorema (por Wikipedia) :

Para un general de n×n es invertible la matriz de $A$, es decir, uno con determinante distinto de cero, $A^{−1}$ por lo tanto puede ser escrito como una $(n − 1)$-ésimo orden de polinomio de expresión en $A$: Como se ha indicado, el de Cayley–Hamilton teorema equivale a la identidad : $$p(A) = A^n + c_{n-1}A^{n-1} + \dots + cA + (-1)^n\det(A)I_n = O$$ Los coeficientes ci están dadas por la escuela primaria, el simétrico de los polinomios de los autovalores de a$A$. El uso de Newton identidades, de la escuela primaria simétrica polinomios a su vez puede ser expresada en términos de la suma de la energía simétrica polinomios de los autovalores: $$s_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k = \text{tr}(A^k)$$

Answer 4

Usted puede calcular explícitamente $\sum_{i=1}^{100}A^i$. Primera diagonalize $A$, es decir, reescribir $A$ como $A=PDP^{-1}$.

Ahora \begin{align} \sum_{i=1}^{100}A^i&=\sum_{i=1}^{100}PD^iP^{-1}\\&=P\left(\sum_{i=1}^{100} D^i\right)P^{-1} \end{align}

Observe que $$(D-I)\left(\sum_{i=1}^{100}D^i\right)=D^{101}-I.$$ Desde $D-I$ es invertible (se puede comprobar) $$\sum_{i=1}^{100}D^i=(D-I)^{-1}(D^{101}-I).$$ Por lo tanto $$\sum_{i=1}^{100}A^i=P(D-I)^{-1}(D^{101}-I)P^{-1}.$$

Answer 5

Es fácil demostrar que para $k\in \Bbb{N},$ $$A^k=\begin{bmatrix} 2^{k-1} & 2^{k-1} \\ 2^{k-1} & 2^{k-1} \\ \end{bmatrix}.$$ La suma es $$\Sigma=\begin{bmatrix} 2^{100}-1 & 2^{100}-1 \\ 2^{100}-1 & 2^{100}-1 \\ \end{bmatrix},$$ from where the eigenvalues $0$ and $(2^{101}-2).$

Cada matriz $A^k, k=1,\dots,100$ tiene los autovalores $0$ e $2^k,$ los correspondientes vectores propios son los de $A:$ $(1,-1)^T, (1,1)^T.$
Por lo tanto $(1,-1)^T, (1,1)^T$ son vectores propios de a$\Sigma.$