¿Qué significa el encuentro de dos álgebras sigma?

Question

Me encontré con esta notación, de la que yo estoy familiarizado;

$\mathscr{F}=\mathscr{G}_{1}\vee \mathscr{G}_{1}$

donde $\mathscr{G}_{1}$ e $\mathscr{G}_{2}$ son tanto sigma-campos de subconjuntos de a$\Omega$. Se dice $\mathscr{F}$ es mayor que la de $\mathscr{G}_{1}$ e $\mathscr{G}_{2}$ lo que sugiere a mí que

$\mathscr{F}=\mathscr{G}_{1}\vee \mathscr{G}_{1}=\mathscr{G}_{1}\cup \mathscr{G}_{1}$

pero sé que esta última unión no es siempre un sigma-el campo así que tal vez este no es el significado aquí?

Alojarse en este tema, sería la notación $\mathscr{G}_{1}\subset\mathscr{G}_{2}$ significa lo mismo que $\mathscr{G}_{1}\leq\mathscr{G}_{2}$, la segunda declaración que (supongo que de todos modos) significa $\mathscr{G}_{2}$ es más fino que el de $\mathscr{G}_{1}$?

Por alguna razón me parece no puede encontrar una definición clara de este para sigma-campos - conjuntos de particiones, etc sí, pero no de sigma campos - por ejemplo aquí;

https://math.stackexchange.com/questions/1345598/does-meet-of-two-partitions-of-a-set-always-exist

Cualquier ayuda como siempre apreciado.

Answer 1

Es difícil contestar a esta pregunta, ya que es esencialmente acerca de la notación. Así que mi respuesta contiene un poco de ingeniosas adivinanzas.

De hecho, $\mathcal{G_1} \cup \mathcal{G_2}$ es en general no $\sigma$-campo. Por lo tanto, uno puede establecer $$\mathcal{G_1} \vee \mathcal{G_2} = \sigma( \mathcal{G_1} \cup \mathcal{G_2}),$$ donde $\sigma(C)$ indica el $\sigma$-campo generado por el conjunto de sistema de $C \subseteq 2^\Omega$. Esta función está definida por $$\sigma(C) = \bigcap \left\lbrace \mathcal{G} : \mathcal{G} \supseteq C, \mathcal{G} \text{ is $\sigma$-field on $\Omega$}\right\rbrace.$$