soluciones a$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^n+1}dx$ para incluso$n$

Question

Estaba jugando con el teorema maestro de Glasser y las integrales de la forma $$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^n+1}dx$$ I observed that for positive, even values of n, the solution to the integral followed the form $$\frac{\pi}{\frac{n}{2}\sin(\frac{\pi}{n})}$$ , the obvious example being at n = 2, the integral equals $\ pi$. I've yet to prove this pattern, but I recognized it after some fiddling around. Is this integral part of some larger concept that is already documented? For example, the way that $\ int_0 ^ \ infty \ frac {x ^ {p-1}} {e ^ x-1} dx = \ zeta (p) \ Gamma (p), p> 1$ , no puedo dejar de pensar por qué la solución general para valores pares tiene una función senoidal en eso.

Answer 1

Para cualquier número complejo a$\alpha$ tal que $0<\text{Re}(\alpha)<1$, vamos $$I(\alpha):=\int_0^\infty\,\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}\,\text{d}t\,,$$ donde la rama cortada del mapa $z\mapsto z^{\alpha-1}$ es el positivo-eje real. Para un número real $\epsilon\in(0,1)$, considerar la orientación positiva del ojo de la cerradura de contorno $\Gamma_\epsilon$ dada por $$\begin{align}\left[\epsilon\,\exp(\text{i}\epsilon),\frac{1}{\epsilon}\,\exp(\text{i}\epsilon)\right]&\cup\left\{\frac{1}{\epsilon}\,\exp(\text{i}t)\,\Big|\,t\in[\epsilon,2\pi-\epsilon]\right\} \\&\cup\left[\frac{1}{\epsilon}\,\exp\big(\text{i}(2\pi-\epsilon)\big),\epsilon\,\exp\big(\text{i}(2\pi-\epsilon)\big)\right]\cup\Big\{\epsilon\,\exp(\text{i}t)\,\Big|\,t\in[2\pi-\epsilon,\epsilon]\Big\}\,.\end{align}$$ A continuación, $$\lim_{\epsilon\to0^+}\,\oint_{\Gamma_\epsilon}\,\frac{z^{\alpha-1}}{z+1}\,\text{d}z=I(\alpha)-\exp\big(2\pi\text{i}(\alpha-1)\big)\,I(\alpha)=-2\text{i}\,\exp(\pi\text{i}\alpha)\,\sin(\pi\alpha)\,I(\alpha)\,.$$ A través del Teorema de los Residuos, $$\lim_{\epsilon\to0^+}\,\oint_{\Gamma_\epsilon}\,\frac{z^{\alpha-1}}{z+1}\,\text{d}z=2\pi\text{i}\,\text{Res}_{z=-1}\left(\frac{z^{\alpha-1}}{z+1}\right)=2\pi\text{i}\,(-1)^{\alpha-1}=-2\pi\text{i}\,\exp(\pi\text{i}\alpha)\,.$$ Por lo tanto, $$\int_0^\infty\,\frac{t^{\alpha-1}}{t+1}\,\text{d}t=I(\alpha)=\frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}\,.$$

Ahora, tome $\alpha:=\dfrac1n$ para algunos entero $n\geq 2$. A continuación, $$\frac{\pi}{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}=\int_0^\infty\,\frac{t^{\frac1n-1}}{t+1}\,\text{d}t=\int_0^\infty\,\frac{n}{x^n+1}\,\text{d}x\,,$$ mediante el establecimiento $x:=t^{\frac1n}$. Esto demuestra la igualdad $$\int_0^\infty\,\frac{1}{x^n+1}\,\text{d}x=\frac{\pi}{n\,\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,.$$ If $$n es par, entonces $$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\frac{1}{x^n+1}\,\text{d}x=2\,\int_0^\infty\,\frac{1}{x^n+1}\,\text{d}x=\frac{2\pi}{n\,\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}=\frac{\pi}{\frac{n}{2}\,\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}\,.$$

De hecho, se puede ver que $I(\alpha)=\text{B}(\alpha,1-\alpha)=\Gamma(\alpha)\,\Gamma(1-\alpha)$, donde $\text{B}$ e $\Gamma$ son los habituales de la beta y gamma funciones, respectivamente. Por lo tanto, esto da una prueba de la Reflexión de la Fórmula de los números complejos $\alpha$ tal que $0<\text{Re}(\alpha)<1$. A continuación, el uso de continuación analítica, podemos demostrar la Reflexión Fórmula para todas las $\alpha\in\mathbb{C}$.

Answer 2

Usando la punta de Mason en los comentarios puedes decir.

PS

Y ahora sustituya $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^n+1}dx = 2\int_0^\infty \frac{1}{x^n+1}dx. $ , y debería obtener algo en la forma de la función beta , que tiene una representación conocida en términos de la función gamma.