Resuelve el SDE$dX_t=\sqrt t(X_t+\sin t)dW_t$

Question

Soy nuevo en la ecuación diferencial estocástica y encontré la cuestión de resolver $$dX_t=\sqrt t(X_t+\sin t)dW_t$ $ donde $W_t$ es el Proceso de Wiener estándar y $X_0 \equiv K\in \mathbb R$ .

Conozco la fórmula de Ito y podría resolver algunas SDE fáciles utilizando la fórmula. Sin embargo, este, no puedo encontrar la función adecuada para usar. Cualquier sugerencia sería apreciada! Gracias y saludos.

Answer 1

El SDE es un ejemplo concreto de lo que se denomina lineal SDE

$$dX_t = (\alpha(t)+\beta(t) X_t) \, dt + (\gamma(t)+\delta(t) X_t) \, dW_t \tag{1}$$

donde $\alpha, \beta,\gamma,\delta$ son funciones deterministas. Tal lineal SDEs puede ser resuelto de manera explícita, y se puede encontrar la fórmula para la solución, por ejemplo, en el libro movimiento Browniano de Una Introducción a los Procesos Estocásticos por Schilling & Partzsch. La idea es resolver primero la homogeneidad de SDE

$$dX_t = \beta(t) X_t \, dt + \delta(t) X_t \, dW_t$$

y, a continuación, utilizar una "variación de las constantes"-enfoque, ver a esta pregunta. Para el caso particular de que $\alpha=\beta=0$ la solución a $(1)$ está dado por

$$X_t = \exp \left( M_t \right) \left[ X_0 + \int_0^t \exp(-M_s) \gamma(s) \, dW_s - \int_0^t \exp(-M_s) \gamma(s) \delta(s) \, ds \right]$$

donde

$$M_t := \int_0^t \delta(s) \, dW_s - \frac{1}{2} \int_0^t \delta(s)^2 \, ds.$$

Conectar $\delta(t) = \sqrt{t}$ e $\gamma(t) = \sqrt{t} \sin t$ da la solución a la SDE

$$dX_t = \sqrt{t} (X_t+\sin t) \, dW_t. \tag{2}$$

Usted puede utilizar el enfoque, que he mencionado anteriormente, para "convencer" la fórmula para la solución, es decir, primero resolver la SDE

$$dX_t = \sqrt{t} X_t \, dW_t$$

y, a continuación, utilizar la "variación de las constantes"-enfoque para obtener la solución a $(2)$.