¿Qué son exactamente $\pi$ y $e$ ?

Question

En primer lugar, pido disculpas si esta es una mala pregunta. No sé muy bien cómo formularla.

La primera vez que conocí $\pi$ en la escuela primaria, donde se presentaba como una proporción para el área de un círculo. Pensé que era un número especial que tenía que ver con los círculos. Puedes imaginar mi confusión cuando lo encontré apareciendo en cosas que aparentemente no tenían nada que ver con los círculos, como en la fórmula de Wallis o el Problema de Basilea. Lo mismo ocurre con $e$ . Pensaba que era una cosa de crecimiento financiero, así que me confundí bastante cuando apareció en cosas como la Distribución de la Probabilidad, y la identidad de Euler. Ahora mismo, parecen dos números mágicos con propiedades mágicas - lo mismo con $\cos$ y $\sin$ - ecuaciones mágicas que te dan proporciones de longitudes.

¿Podría alguien explicar cuál es el significado exacto de $e$ y $\pi$ ? Más allá de los círculos, más allá de la geometría. Porque ciertamente parecen ser más que eso.

Answer 1

Esto puede sorprenderte, pero cada aparición de $\pi$ por muy loco que parezca, traza la implicación de un círculo en alguna parte.

Por ejemplo, ¿de dónde procede el producto Wallis? De la evaluación de $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k\ge 1}(1-\frac{x^2}{k^2})$ en $x=\frac{\pi}{2}$ (es decir, un cuarto de vuelta de $x=0$ ). Y aunque enseñamos trigonometría a los alumnos con triángulos rectángulos, se pueden incrustar esos triángulos en un círculo cuya hipotenusa es un radio, y generalizar el coseno y el seno más allá de los ángulos agudos, de modo que, si en el círculo $x^2+y^2=1$ consideramos un radio $(1,\,0)$ y otra formando un ángulo contrario a las agujas del reloj $\theta$ con él, este último se encuentra con el círculo en $(\cos\theta,\,\sin\theta)$ . Así que, en última instancia, estas funciones se definen con círculos.

¿Y el problema de Basilea? Podemos demostrar $\sum_{k\ge 1}k^{-2}=\frac{\pi^2}{6}$ utilizando el hecho de que los agudos $x$ satisfacer $\cot^2x\le x^{-2}\le\csc^2 x=\cot^2 x$ que sumamos sobre $x\in\{\frac{k\pi}{2m+1}|1\le k\le m\}$ . (La suma de los cotangentes al cuadrado se puede obtener a partir de los coeficientes de un polinomio .) Así que, una vez más, esto nos lleva a la trigonometría, y por tanto a los círculos.

Del mismo modo, cada aparición de $e$ por muy disparatada que parezca, se remonta a cualquiera de sus definiciones equivalentes (1) $e:=\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ o (2) $\frac{d}{dx}e^x=e^x,\,e>0$ . (1) implica $(1+\frac{x}{n})^n\approx e^x$ para $x\ll n$ , de donde podemos deducir el teorema del límite central utilizando funciones características. Pero esta demostración también utiliza $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ que se puede demostrar combinando (2) con una prueba de que $\cos x,\,\sin x$ satisfacer $y''=-y$ .

¿Por qué $\pi$ ¿siguen apareciendo? Porque las simetrías multivariables se refieren con frecuencia al trazado sobre la superficie de un círculo, una esfera o una hiperesfera, que se remonta a los círculos. ¿Por qué $e$ ¿siguen apareciendo? Porque muchos problemas giran en torno a las tasas de cambio, que incluyen automáticamente funciones exponenciales si las ecuaciones diferenciales implicadas adoptan una forma determinada.

Answer 2

Le recomiendo que lea el artículo sobre wikipedia sobre la definición de $\pi$ . Se sugiere partir de la función coseno, que puede definirse como una serie o una ecuación diferencial. La razón es que normalmente en el cálculo se aprenden las series y las derivadas antes que las integrales. Si se tienen estas nociones, entonces se puede derivar la circunferencia del círculo por integración, así $\pi$ tal y como se definió en la antigüedad es consecuencia de un cálculo realizado 3000 años después. De forma similar a lo que ocurre con $e$ si se parte de la representación en serie de Taylor o de la definición básica que $\frac{de^x}{dx}=e^x$ , puede entonces derivar todas las propiedades que describió en su pregunta.