Lío de álgebra, don ' t saber cómo proceder

Question

Tengo clase de un problema de álgebra. La pregunta original es una transformación Bilineal para la radiodifusión analógica a la digital filtros. (Esto no es una tarea pregunta)

En mis notas de la conferencia, se va a la respuesta como 1 paso,

Estoy tratando de hacerlo pero estoy pegado en un lugar y no sé cómo proceder para obtener la misma manera que él lo tiene.

Answer 1

En primer lugar, se multiplican (y dividir) por $8(1+z^{-1})^3$: usted obtener $$ \frac{8(1+z^{-1})^3}{8(1+z^{-1})^3+8(1+z^{-1})^2(1-z^{-1})+4(1+z^{-1})(1-z^{-1})^2+(1-z^{-1})^3}. $$ A continuación, expanda el numerador para obtener $$ \frac{8(1+3z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3})}{8(1+z^{-1})^3+8(1+z^{-1})^2(1-z^{-1})+4(1+z^{-1})(1-z^{-1})^2+(1-z^{-1})^3}. $$ Ahora, para ampliar el denominador. Vamos a hacer cada término: $$ 8(1+z^{-1})^3=8+24z^{-1}+24z^{-2}+8z^{-3}; $$ $$ 8(1+z^{-1})^2(1-z^{-1})=8+8z^{-1}-8z^{-2}-8z^{-3}; $$ $$ 4(1+z^{-1})(1-z^{-1})^2=4-4z^{-1}-4z^{-2}+4z^{-3}; $$ y $$ (1-z^{-1})^3=1-3z^{-1}+3z^{-2} z^{-3}. $$ Recopilación de términos, el denominador se convierte en $$ (8+8+4+1)+(24+8-4-3)z^{-1}+(24-8-4+3)z^{-2}+(8-8+4-1)z^{-3} =21+25z^{-1}+15z^{-2}+3z^{-3}. $$

Answer 2

Definición de <span class="math-container">$m:=1-z^{-1}$</span> y <span class="math-container">$p:=1+z^{-1}$</span>, tenemos <span class="math-container">$$\begin{align} \frac{1}{1+2\cdot\dfrac12\dfrac{m}{p}+2\cdot\dfrac14\dfrac{m^2}{p^2}+\dfrac18\dfrac{m^3}{p^3}}\cdot\frac{8p^3}{8p^3} &= \frac{8p^3}{8p^3+8p^2m+4pm^2+m^3} \[2pt] &=\frac{8p^3}{\left(2p+m\right)\left(4p^2+2pm+m^2\right)} \end {Alinee el} $</span> desde aquí, las diferentes piezas es sencillo.

Answer 3

Configurar <span class="math-container">$t=z^{-1}$</span>, para obtener para el denominador: <span class="math-container">\begin{align} {}&\phantom{={}}\;1+\frac{1-t}{1+t}+\frac{(1-t)^2}{2(1+t)^2}+\frac{(1-t)^3}{8(1+t)^3}\ &= \frac{8(1+t)^3+8(1-t)(1+t)^2+4(1-t)^2(1+t)+(1-t)^3}{8(1+t)^3} \ &= \frac{8(1+t)^3+8(1-t^2)(1+t)+4(1-t)(1-t^2)+(1-t)^3}{8(1+t)^3} \ &=\dotsm \end {Alinee el}</span>

Answer 4

Su problema es muy similar a este. <span class="math-container">$$\frac{1}{t^3+2t^2+2t+1} = \frac{1}{t^3+3t^2+3t+1-t^2-t}=\frac{1}{(t+1)^3-t(t+1)}=\frac{1}{(t+1)(t^2+t+1)}$$</span>

¿Lo puede tomar desde aquí?