Encontrar función $f(x)$ esa relación diferencial satisfactorio

Question

Supongamos que las funciones de $F(x)$ e $G(x)$satisfactorio $$F(x)=f(x)-\frac{1}{f(x)}$$ $$G(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}$$ tal que $F'(x)=(G\circ G)(x)$, con la condición inicial $f(\frac{\pi}{4})=1$ es dado. Encontrar $f(x)$.

He intentado $F(x)+G(x)=2f(x)$, y tratar de relacionar las funciones de $F(x)$ e $G(x)$, pero atrapado en la función de composición $(G\circ G)(x)$. Tomando la integración de $F'(x)$ e $(G\circ G)(x)$ en ambos lados con respecto a $x$ o $F(x)$ no ayuda mucho. Alguna pista?

Answer 1

Suponiendo que <span class="math-container">$G^2(x)=(G(x))^2,$</span> que es, la multiplicación ordinaria, que era la notación de la pregunta original, tenemos que <span class="math-container">\begin{align} F'&=f'-\frac{-f'}{f^2}=\frac{f'(1+f^2)}{f^2}, \; \text{and} \ G^2&=f^2+2+\frac{1}{f^2}. \end{align}</span> entonces <span class="math-container">$$\frac{f'(1+f^2)}{f^2}=f^2+2+\frac{1}{f^2},$ $</span> o <span class="math-container">$$f'(1+f^2)=f^4+2f^2+1=(1+f^2)^2;$ $</span> y por lo tanto <span class="math-container">$$f'=1+f^2,$ $</span> que es separable.

Answer 2

Aquí es un intento inacabado, pero la última ecuación diferencial en $G$ puede (o no) ser útil. Aquí, pongo mi confianza en el OP de la interpretación que $G^2(x)$ medio $(G\circ G)(x)$.

Tenga en cuenta que $$(G\circ G)(x)=F'(x)=\left(1+\frac{1}{\big(f(x)\big)^2}\right)\,f'(x)=G(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}\,.$$ Entonces tenemos $$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{(G\circ G)(x)}{G(x)}\,.$$ Del mismo modo, se observa que la $$G'(x)=\left(1-\frac{1}{\big(f(x)\big)^2}\right)\,f'(x)=F(x)\,\frac{f'(x)}{f(x)}=F(x)\,\left(\frac{(G\circ G)(x)}{G(x)}\right)\,.$$ Por lo tanto, $$F(x)=\frac{G(x)\,G'(x)}{(G\circ G)(x)}\,.$$ Tomando la derivada, obtenemos $$(G\circ G)(x)=F'(x)=\frac{\big(G'(x)\big)^2+G(x)\,G''(x)}{(G\circ G)(x)}-\frac{G(x)\,G'(x)}{\big((G\circ G)(x)\big)^2}\,G'\big(G(x)\big)\,G'(x)\,.$$ En consecuencia, $$(G\circ G)(x)\,\big(G'(x)\big)^2+(G\circ G)(x)\,G(x)\,G''(x)=G(x)\,\big(G'(x)\big)^2\,G'\big(G(x)\big)+\big((G\circ G)(x)\big)^3\,,$$ con $G\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2$ e $G'\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0$. Bueno, esto parece sin esperanza.