Si tenemos completa libertad en la selección de los cambios de fase $a_n$, la respuesta es claramente afirmativa: para algunos secuencia $S=\{a_n\}_{n\geq 0}$,
$$ f_S(x) = \sum_{n\geq 0}\frac{\sin((2n+1)x+a_n)}{(2n+1)} $$
es una función continua (prueba aplazada). Por otro lado tal función continua es diferenciable en casi ningún momento, debido a la tasa de descomposición de los coeficientes de su serie de Fourier, por lo que es una especie de función de Weierstrass. Y tal onda no suenan como los de onda cuadrada: cualquier discontinuo de la señal (o incluso diferenciable, pero con grandes valores alcanzados por sus derivados) se percibe como dolorosa por nuestro oído, debido a los rápidos cambios de presión en el tímpano (pruebe las muestras de la plaza de la onda y la onda de diente de sierra en la Wikipedia. Como un folclore nota, creo que el ejemplo de la onda triangular se utiliza en la introducción de Mogwai de la canción de la onda sinusoidal).
Por sólo teniendo en cuenta la constante de secuencias, $f_S(x)$ oscila entre el rectángulo de onda
y la parte real de la $\text{arctanh}(e^{ix})$, es decir, $\log\left|\tan(x/2)\right|$: ambas funciones son continuos sobre $\mathbb{R}\setminus \pi\mathbb{Z}$, el primero es acotado, el segundo no lo es. En general
$$ (\mathcal{L} f_S)(s) = \sum_{n\geq 0}\frac{(2n+1)\cos(a_n)+s \sin(a_n)}{(2n+1)((2n+1)^2+s^2)}$$
así que si tomamos $a_n=n^2$ podemos aprovechar el hecho de que $e^{in^2}$ es lo suficientemente distribuidos al azar en el círculo unidad. Por Weyl la desigualdad tanto $\sum_{n=0}^{N}\sin(n^2)$ e $\sum_{n=0}^{N}\cos(n^2)$ se $\ll \sqrt{N}\log^2 N$, por lo tanto, por la aplicación de la sumación por partes de la serie la definición de $\mathcal{L} f_S$, a continuación, $\mathcal{L}^{-1}$, nos encontramos con que $f_{\{n^2\}}(x)$ es continua.
Aquí es una representación aproximada de tales Weierstrass-como función:
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No es un rectángulo de onda en todo.
