Si decimos que los campos $A$ y $B$ son isomórficos, ¿eso significa simplemente que son isomórficos como anillos, o hay algo más?
En cierto sentido, sí, eso es lo que significa. Pero no realmente. Cuando decimos que dos estructuras $S$ y $T$ de un cierto tipo son isomórficas, queremos decir que hay una biyección $\varphi:S\rightarrow T$ que preserva la estructura. Entonces, por ejemplo, si $\circ$ es una operación binaria en la estructura, entonces para $x,y\in S$, tenemos que $\varphi(x\circ y)=\varphi(x)\circ \varphi(y)$.
Resulta que preservar la estructura de anillo es suficiente para preservar la estructura de campo; un campo es simplemente un anillo conmutativo con inversos, por lo que la propiedad de ser un campo se conserva si las operaciones $+$ y $\times$ son preservadas. Por lo tanto, dos campos son isomórficos si y solo si son isomórficos cuando se consideran como anillos. Pero este es un hecho contingente, y no es realmente lo que queremos decir cuando decimos que dos campos son isomórficos.
Me doy cuenta de que esta vista roza la filosofía, y no la defendería a muerte. Solo estoy tratando de dar una idea de lo que los matemáticos están pensando cuando dicen isomórfico.
Entonces, en otras palabras, ¿querrías que el isomorfismo de campos incluya una condición como: si $x \ne 0$ entonces $\phi(x) \ne 0$ y $(\phi(x))^{-1} = \phi(x^{-1})$, ¿verdad? (O posiblemente, si $x \ne 0 y $\phi(x) \ne 0$ entonces $(\phi(x))^{-1} = \phi(x^{-1})$.)
@Daniel: todo lo que sigue de las operaciones anulares elementales (no olvides que $\varphi$ es una biyección).
No estoy seguro de estar de acuerdo con esta respuesta. No existe tal cosa como una "estructura de campo": un anillo es un conjunto con estructura adicional, y un campo es un anillo con la propiedad adicional de que la operación de multiplicación es invertible lejos de cero. Desde esta perspectiva, es automático que un homomorfismo de campos sea simplemente un homomorfismo de anillos.
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Un homomorfismo de campos es un homomorfismo de anillos entre campos, ¡así que sí!
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Por favor ve mi comentario, que explica exactamente lo que significa la respuesta de TonyK por "estructura de campo".