Una curiosidad: ¿cómo se demuestra $\mathbb{R}$ es cerrado bajo la adición y la multiplicación?

Question

Así que traté de mirar a su alrededor para esta pregunta, pero no he encontrado nada de nada - en su mayoría sin relación-pero-igualmente-redactado cosas. Así que, o soy muy malo en buscar en Google o lo que sea, pero voy a llegar a la point.

Hasta ahora en mis cursos, me parece que he principalmente por descontado que los $(\mathbb{R},+,\cdot)$ es un campo. No estoy dudando de que mucho, que parece tonto. Sin embargo, mi pregunta es: ¿cómo se podía demostrar esto? En particular, ¿cómo se podía demostrar que $(\mathbb{R},+)$ e $(\mathbb{R}\setminus \{0\}, \cdot)$ son cerrados bajo sus respectivas operaciones?

Entiendo que la definición de cierre, pero para decir que "un número real plus/veces un número real es un número real" parece extrañamente circular, ya que, sin la demostración de que, esencialmente, invoca los supuestos que estamos tratando de probar. Obviamente, hay algo "más" a la definición de "número real" que haría demostrando que esto sea posible.

Aunque no estoy seguro de lo que la propiedad sería usado para esto.

Uno pensaba que habitó durante un tiempo, en cambio, estaba mirando lo que los números reales son no. Por ejemplo, son números que carecen de los "imaginario" de los componentes que ven en sus mayores dimensiones que las generalizaciones - los números complejos ($i$), cuaterniones ($i,j,k$), y así sucesivamente. Pero eso no parece muy "derecho" a mí? Como no estoy seguro de si es realmente malo, simplemente me molestaba de alguna manera. Como es suficientemente simple como para decir "un número real es cualquier número complejo con un cero componente imaginario," toma dos números reales, mostrar su imaginaria suma/multiplicar a cero, y por lo tanto tenemos un número real.

Tal vez es sólo una cuestión personal? Como dije, no estoy diciendo que es intrínsecamente malo (que podría ser, aunque, no sé - si es así, me gustaría saber por qué). Tal vez es sólo la idea de "definir un número por lo que no" que me molesta. Como he dicho, yo no estoy realmente seguro, y creo que estoy divagando/lo suficientemente claro como es, así que voy a ir directo al punto.

En definitiva, ¿cómo hace uno para demostrar correctamente, si no en el sentido indicado anteriormente, $$a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow (a+b)\in \mathbb{R}$$ $$a,b\in \mathbb{R \setminus \{0\}} \Rightarrow (a\cdot b) \in \mathbb{R \setminus \{0\}}$$

(Y de nuevo, no tengo ninguna duda de que estas son verdaderas. Tengo curiosidad de cómo sería la prueba de estos hechos de la manera más adecuada ya que no creo que se venga en mi curso y me he sentido curiosidad sobre cómo sería de probar durante un par de días ahora.)

Answer 1

Supongamos que $\mathbb{Q}$ se define de tal manera que $(\mathbb{Q},+,\cdot)$ es un anillo conmutativo, sin dudas.
Supongamos que $(a,b\in\mathbb{Q},a\neq b\Rightarrow a>b\vee a<b)$ es demasiado claro. Definamos $\mathbb{R}$ como indicador de finalización de $\mathbb{Q}$.

Definición 1 - convergencia de Cauchy. Se dice que una secuencia $\{q_n\}_{n\geq 1}$ de los números racionales es una secuencia de Cauchy si para cualquier $\varepsilon>0$ no es un número natural $N=N(\varepsilon)$ asegurar $|q_n-q_m|\leq\varepsilon$ tan pronto como $n,m\geq N$. En términos sencillos: una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos términos de "pegarse" arbitrariamente cerca de algún punto.

Definición 2 - (métrica) de convergencia. Se dice que una secuencia $\{q_n\}_{n\geq 1}$ es (métrico) convergente a $q$ si por cualquier $\varepsilon>0$ no es un número natural $N=N(\varepsilon)$ asegurar $|q_n-q|\leq\varepsilon$ tan pronto como $n\geq N$. En términos sencillos: convergente de la secuencia es una secuencia cuyos términos de "palo arbitrariamente cerca de algo" desde algún punto.

Ya que no todos secuencia de Cauchy en $\mathbb{Q}$ métricamente es convergente a un número racional (usted puede tomar $q_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ como un ejemplo), tiene sentido para enriquecer $\mathbb{Q}$ con el fin de hacer de cada secuencia de Cauchy (en el nuevo espacio) convergente (a algo que pertenece al nuevo espacio). Consideremos el conjunto a$S$ de secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$, y vamos a dotar a este espacio con una equivalencia de la relación de $\sim$ considerando $\{q_n\}_{n\geq 1}$ e $\{p_n\}_{n\geq 1}$ como el mismo objeto al $\{p_n-q_n\}_{n\geq 1}$ es (métrico) convergente a cero.

$$\mathbb{R}\stackrel{\text{Def}}{=} S/\sim.$$ Desde $p_n\to p$ (notación abreviada para "$\{p_n\}_{n\geq 1}$ métricamente es convergente a $p$") y $q_n\to q$ implican $p_n+q_n\to p+q$ e $p_n\cdot q_n\to pq$, la estructura de anillo de $\mathbb{Q}$ es heredado por $\mathbb{R}$ a través de la métrica de finalización.

En otros términos: continua mapas ($+,\cdot$) definidas sobre subconjuntos densos ($\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$) tienen un único continuo extensiones.

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Creo que los estudiantes", con números complejos, en la mayoría de los casos, puede ser fácilmente explicado. Al menos, en mi lugar, estamos acostumbrados a la introducción de la unidad imaginaria $i$ /"la" raíz cuadrada de $-1$, sin justificar por qué se nos permite introducir la monstruosidad entre los números. De hecho, la construcción de $\mathbb{C}$ de $\mathbb{R}$ comparte muchos elementos con la construcción de $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$:

1. Tomamos el espacio original, $\mathbb{R}$
2. Tomamos un enorme superconjunto, $\mathbb{R}[x]$, el anillo de polinomios con coeficientes reales
3. Ponemos una relación de equivalencia sobre tales superconjunto y definir el nuevo espacio como un cociente: $\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$
4. Comprobamos que el nuevo espacio es un campo y un espacio vectorial de dimensión $2$ sobre $\mathbb{R}$
5. Probamos el nuevo espacio es algebraicamente cerrado.

O, al menos, deberíamos.

Answer 2

Curiosamente, todas las respuestas hasta el momento dan secuencias de Cauchy, permítanme darles la Dedekind construcción de corte.

El desarrollo supone que los números racionales son conocidos y construido, como son sus operaciones y propiedades básicas.

Definición. Un corte es una partición de a$(A_1,A_2)$ de $\mathbb{Q}$, la satisfacción de las siguientes propiedades:

1. $A_1\neq\varnothing$ e $A_2\neq\varnothing$.
2. $A_1\cup A_2=\mathbb{Q}$.
3. Si $a\in A_1$ e $b\in A_2$, a continuación, $a\lt b$.
4. Si existe un racional $c\in\mathbb{Q}$ tal que para cada a$a\in A_1$ y cada una de las $b\in A_2$, $a\leq c$ e $c\leq b$, a continuación, $c\in A_1$.

En particular, si $a\in A_1$ e $c\lt a$, a continuación, $c\in A_1$ (ya que debemos tener $c\in A_1\cup A_2$). El punto 4 es algo arbitrario: se podría también requieren de este elemento en $A_2$. O podría, como Dedekind hace, simplemente lo ignoran y, finalmente, identificar algunos cortes juntos. Asimismo, el punto 2 es algo superfluo, ya que está incluido en la noción de "partición".

Que nos llame a $A_1$ "dejar" de la corte, y $A_2$ el "conjunto de la derecha".

Ahora, cada número racional $r$ determina un corte, que se define por $(A^r_1,A^r_2)$, $A^r_1=\{q\in\mathbb{Q}\mid q\leq r\}$, e $A^r_2 = \{q\in\mathbb{Q}\mid q\gt r\}$. Sin embargo, no cada corte está determinado por una racional: por ejemplo, el corte $(A_1,A_2)$ dada por $$\begin{align*} A_1 &= \{q\in\mathbb{Q}\mid q\lt 0\} \cup \{q\in\mathbb{Q}\mid q\geq 0\text{ and }q^2\leq 2\}\\ A_2 &= \{q\in\mathbb{Q}\mid g\geq 0\text{ and }q^2\gt 2\} \end{align*}$$ puede ser demostrado no ser de la forma $(A_1^r,A_2^r)$ para cualquier número racional $r$.

Definimos el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$ como el conjunto de todos los cortes.

Podemos definir el orden en el $\mathbb{R}$ dejando $(A_1,A_2)\leq (B_1,B_2)$ si y sólo si $A_1\subseteq B_1$.

Definimos además de los recortes, de la siguiente manera: dado $(A_1,A_2)$ e $(B_1,B_2)$, definimos el corte $(A_1,A_2)\oplus (B_1,B_2) = (C_1,C_2)$, donde $C_1$ consiste de todos los números racionales $q$ para los que exista $a\in A_1$ e $b\in B_1$ con $q\leq a+b$; y dejando $C_2=\mathbb{Q}\setminus C_1$.

No es difícil comprobar que $-(A_1,A_2) = (-A_2,-A_1)$, donde $-X = \{-q\mid q\in X\}$; salvo que usted necesita para ser un poco cuidadoso dado mi definición: para asegurarse de que cumple con el punto 4, si hay un racional $c$ en $A_1$ Tal que $q\leq c$ para todos los $q\in A_1$, entonces usted debe moverse $-c$ de $-A_1$ y la puso en $-A_2$.

Ahora, la multiplicación es un poco más complicado. Primero nos vamos a $\mathbf{0}=(0_L,0_R)$, donde $0_L=\{q\in\mathbb{Q}\mid q\leq 0\}$, e $0_R=\{q\in\mathbb{Q}\mid q>0\}$.

Entonces, dadas dos recortes $(A_1,A_2)$, $(B_1,B_2)$, con tanto mayor que o igual a $(0_L,0_R)$, definimos su producto $(A_1,A_2)\otimes(B_1,B_2) = (C_1,C_2)$ dejando $$C_1 = \{q\in\mathbb{Q}\mid \exists a\in A_1, b\in B_1\text{ such that }a\geq 0,b\geq 0,\text{ and }q\leq ab\}$$ y, a continuación, lettig $C_2 = \mathbb{Q}\setminus C_1$.

Si $(A_1,A_2)\geq (0_L,0_R)$ e $(B_1,B_2)\lt (0_L,0_R)$, definimos el producto $(A_1,A_2)\otimes(B_1,B_2)$ a $-\bigl( (A_1,A_2)\otimes(-B_2,-B_1)\bigr)$.

Y si $(A_1,A_2)\lt (0_L,0_R)$, e $(B_1,B_2)\lt(0_L,0_R)$, definimos $$(A_1,A_2)\otimes(B_1,B_2) = (-A_2,-A_1)\otimes(-B_2,-B_1).$$

Entonces, uno puede mostrar que el mapa de $\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ dado por $r\mapsto (A_1^r,A_2^r)$ es uno-a-uno, y satisface $$\begin{align*} (A_1^{r+s},A_2^{r+s}) &= (A_1^r,A_2^r) \oplus (A_1^s,A_2^s)\\ (A_1^{rs},A_2^{rs}) &= (A_1^r,A_2^r)\otimes (A_1^s,A_2^s)\\ r\leq s&\iff (A_1^r,A_2^r)\leq (A_1^s,A_2^s) \end{align*}$$ de modo que $\mathbb{R}$ contiene una "copia" de $\mathbb{Q}$ dentro de él. Finalmente, uno puede mostrar integridad demostrando que si $\{(A^{(i)}_1,A^{(i)}_2)\}_{i\in I}$ es un vacío de la familia de los números reales, que es la delimitada por encima (de modo que existe un número real $(B_1,B_2)$ tal que $A^{(i)}_1\subseteq B_1$ para todos los $i$), entonces el número real $(A_1,A_2)$ con $A_1 = \cup_{i\in I}A^{(i)}_1$, $A_2=\mathbb{Q}-A_1$ es el supremum de la serie.

Answer 3

En el interés de la divulgación:

Esto sigue a algunos de los comentarios realizados por Noé Schweber y Rahul a la pregunta original, que eran esencialmente codazos en esta dirección. Esto también podría ser tomado como el "ejercicio de la izquierda para el lector" poco de Xander Henderson respuesta.

Esencialmente, desde el $a,b$ son números reales, dejamos $a,b$ ser representado por secuencias de Cauchy $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Si podemos mostrar a $(a_n + b_n)$ e $(a_n b_n)$ son de Cauchy, entonces los números que representan a - $a+b$ e $a \cdot b$ respectivamente, son por lo tanto los números reales.

Ergo, la prueba de cierre en cada operación es análoga a la que muestra que, para las dos secuencias de Cauchy, su suma y productos también son de Cauchy.

Yo ciertamente no tiene la intención de "aceptar", mi respuesta aquí - en mi opinión, no se siente bien en este caso, dado que es básicamente un "desarrollarse" de lo que otros me dijeron, y las otras respuestas aquí también son muy buenas. Pero al mismo tiempo voy a postear esto porque creo que va a ser también útil en caso de que alguien más está mirando en el futuro y pueden ser confundidos sobre cómo realizar un seguimiento de esta idea. (Además, yo ya estaba a mitad de camino a través de la escritura antes de que otras personas comenzaron a publicar sus respuestas y no quiero que mi trabajo para ir a la basura.)

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El cierre de la Suma:

Bien, así que vamos a $(a_n), (b_n)$ ser secuencias de Cauchy en $\mathbb{R}$, en representación de los números reales $a$ e $b$ respectivamente. Con esta mente, buscamos demostrar que la secuencia de $(a_n + b_n)$, lo que representa, $a+b$, es de Cauchy, y por lo tanto $(a+b)\in\mathbb{R}$.

Desde $(a_n),(b_n)$ son de Cauchy, para algunos $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$

• $|a_m - a_n| < \varepsilon \;\;\; \forall \varepsilon > 0, \forall m,n > N_1$
• $|b_p - b_q| < \varepsilon \;\;\; \forall \varepsilon > 0, \forall p,q > N_2$

Dado que las desigualdades tienen validez para todos los $\varepsilon > 0$, podemos, en particular, les permiten mantener para $\varepsilon/2$. Vamos a seguir deje $N =\max\{N_1, N_2\}$.

A continuación, consideramos que la condición para $(a_n + b_n)$ a ser de Cauchy y de la nota:

$$|(a_m + b_m) - (a_n + b_n) | = |(a_m - a_n) + (b_m - b_n) |$$

La invocación de la desigualdad de triángulo, se nota, para todos los $m,n > N$ e $\varepsilon > 0$,

$$|(a_m - a_n) + (b_m - b_n) | \leq | a_m - a_n | + | b_m - b_n | < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

Así, pues, para todos los $m,n > N =\max\{N_1, N_2\}$, tenemos $$|(a_m + b_m) - (a_n + b_n) |< \varepsilon$$ the sequence $(a_n + b_n)$ es de Cauchy.

Desde $(a_n + b_n)$ es de Cauchy y representa el $a+b$, tenemos $a+b \in \mathbb{R}$, lo que siguió a partir de la suposición $a,b \in \mathbb{R}$ (que nos dio el suposiciones $(a_n),(b_n)$ fueron de Cauchy).

Por lo tanto, $$a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow (a+b)\in \mathbb{R}$$

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El cierre de la Multiplicación:

Del mismo modo, para $(a_n),(b_n)$ ser de Cauchy secuencias que representan un valor distinto de cero $a,b$, sería necesario mostrar que $(a_n b_n)$ es de Cauchy. Esto puede ser hecho de forma similar a la primera, sólo que un poco más quisquillosos.

Así que, como antes, tenemos, desde $(a_n),(b_n)$ son de Cauchy, para algunos $N_1, N_2 \in \mathbb{N}$

• $|a_m - a_n| < \varepsilon \;\;\; \forall \varepsilon > 0, \forall m,n > N_1$
• $|b_p - b_q| < \varepsilon \;\;\; \forall \varepsilon > 0, \forall p,q > N_2$

Dejamos $N = \max\{N_1,N_2\}$. Desde secuencias de Cauchy son acotados, también daremos $|a_n|, |b_n| \leq M$ de positivos $M$. (Sobre todo queremos distinto de cero para nuestra prueba, sino $|a_n|,|b_n| \geq 0$ , por definición, de manera "positiva" también funciona.)

Como antes, también, vamos por encima de las desigualdades que provienen de $(a_n),(b_n)$ ser de Cauchy con $\varepsilon/2M$ frente a sólo el $\varepsilon$ por conveniencia.

Entonces, como queremos que $(a_nb_n)$ a ser de Cauchy, se considere y tenga en cuenta:

$$|a_m b_m - a_n b_n| = |a_m b_m - a_n b_m + a_n b_m - a_n b_n |$$

La invocación de la desigualdad de triángulo,

$$|a_m b_m - a_n b_m + a_n b_m - a_n b_n | \leq |a_m b_m - a_n b_m | + | a_n b_m - a_n b_n |$$

Hacemos algunos de factoring y de la nota:

$$|a_m b_m - a_n b_m | + | a_n b_m - a_n b_n | = |b_m| \cdot |a_m - a_n | + |a_n| \cdot |b_m - b_n|$$

Desde $(a_n),(b_n)$ son de Cauchy, las tomamos como siendo menos de $\varepsilon/2M$ para $m,n>N$. Ya que está también limitada, $|a_n|,|b_m| \leq M$. Por lo tanto,

$$|b_m| \cdot |a_m - a_n | + |a_n| \cdot |b_m - b_n| < |b_m| \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + |a_n| \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \frac{\varepsilon}{2M} (|b_m| + |a_n|) \leq \frac{\varepsilon}{2M} (M+M) = \varepsilon$$

Por lo tanto, para todos los $\varepsilon > 0$ e $m,n > N$,

$$|a_m b_m - a_n b_n| < \varepsilon$$

en la premisa de $(a_n),(b_n)$ . Por lo tanto, $(a_n b_n)$ es de Cauchy. Desde $a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ implica $(a_n b_n)$ es de Cauchy, entonces, como $(a_n b_n)$ representa a $a\cdot b$, por lo tanto tenemos

$$a,b \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \Rightarrow (a\cdot b) \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$

Answer 4

Bueno, no es tan complicado si se concede que $\mathbb Q$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación. Desde $\mathbb Q$ es denso en $\mathbb R$, el uniforme de funciones continuas $\mathbb Q \times \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q$ de la suma y la multiplicación se extienden de forma exclusiva a las funciones de $\mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ en la finalización.

El principio general detrás de esto es que si $X$ es un subconjunto denso de un espacio métrico $\widetilde{X}$, e $f$ es uniformemente continua mapa de $X$ a un espacio métrico $Y$, a continuación, $f$ se extiende únicamente a un mapa continuo de $\widetilde{X}$ a $Y$.

Esta es la forma de definir la suma y la multiplicación en $\mathbb R$, por lo que inmediatamente $\mathbb R$ es cerrado bajo las operaciones.

También por la continuidad que se puede comprobar que las mismas leyes que para $\mathbb Q$ (asociatividad, conmutatividad, distributividad) siendo así por $\mathbb R$.