¿Cómo solucionarlo?

Question

Cómo resolver la siguiente ODA? \begin{equation} \frac{d}{dt}x=\frac{f(x)}{\|f(x)\|}, \end{equation} donde $x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, es decir, $x(t)$ es la trayectoria. El lado derecho de la $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ es continuamente una función derivable con respecto a $x$. $\|\cdot\|$ es cualquier vector de norma.

Creo que el lado derecho de la educación a distancia no es Lipschitz continua. Por ejemplo, tomemos $n=1$ e $f(x)=-x$, entonces el lado derecho de la $-x/|x|$ no es ni continua. En este caso, el teorema de existencia y unicidad de una solución no se puede aplicar. Entonces, ¿cómo analizar la existencia de la solución? Hay finito de tiempo de escape?

Answer 1

Realmente, el problema de la ecuación es el sistema de $$\dfrac{\mathrm dx_i}{\mathrm dt} = \dfrac{y_i}{\|y\|},$$ donde $$y=f(x).$$ Si $\|f(x)\|^2 = f(x)\cdot f(x)$, entonces la ecuación escalar $$f(x)\cdot\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = \|f(x)\|$$ puede ser considerado como el primer invariante.

Además, la producción de vectores $$f(x)\times\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = 0$$ pueden ser utilizados también.

Parcialmente, en el sistema de coordenadas Cartesianas para $n=3$ el problema del sistema es $$\sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2\,}\,\dfrac{\mathrm dx_i}{\mathrm dt} = y_i,\quad i=1,2,3,$$ y se transforma en el sistema de overdefined formulario $$\begin{cases} y_1\dfrac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt}+y_2\dfrac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt}+y_3\dfrac{\mathrm dx_3}{\mathrm dt} = \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2}\\[4pt] y_2\dfrac{\mathrm dx_3}{\mathrm dt} - y_3\dfrac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} = 0 \\[4pt] y_3\dfrac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} - y_1\dfrac{\mathrm dx_3}{\mathrm dt} = 0 \\[4pt] y_1\dfrac{\mathrm dx_2}{\mathrm dt} - y_2\dfrac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt} = 0, \\[4pt] \end{casos}$$ en las tres últimas ecuaciones deben ser transformados a $2$.

Si $n=1$ e $f(x)=-x,$ luego de sustitución de $z=x^2$ conduce a la educación a distancia con variables separables $$\dfrac{\mathrm dz}{\mathrm dt}=-2\sqrt{z},\quad\dfrac{\mathrm dz}{2\sqrt{z}} = -{\mathrm dt},$$ $$\sqrt{z} = const-t,\quad x=\pm(const-t).$$ Entonces $$\dfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\dfrac{f(x)}{\|f(x)\|} = \mp1.$$