¿Cómo puedo encontrar números enteros que satisfagan $\frac{150+n}{15+n}=m$ ?

Question

He aquí algunos datos sobre mí:

1. En 2017, me $15$ años.
2. Canadá, mi país, fue $150$ años.

¿Cuándo será la próxima vez que la edad de mi país sea múltiplo de la mía?

He atenuado esto a una función. Con $n$ que es el número de años que faltan para que esto ocurra y $m$ cualquier número entero,

$$\frac{150+n}{15+n}=m$$

¿Cómo encontraría $n$ ?

Answer 1

Lo primero que haría es decir que Canadá es $135$ años mayor que tú.

Eso te da una

$$\frac {135+n}{n} = k\\ \frac {135}{n} = k-1\\$$

Ocurrirá cada vez que su edad sea un factor de $135.$ Ocurrió por última vez cuando eras $15.$ Lo siguiente que ocurrirá será cuando $27$

Answer 2

Quieres $\frac{150+n}{15+n}=m$ y despejando denominadores obtenemos $$150+n=(15+n)m.$$ Restar $15+n$ de ambos lados nos dan $$135=(15+n)(m-1).$$ Ahora busca el más pequeño $n>1$ para el que tal $m$ existe, por lo que el $n>1$ para lo cual $15+n$ divide $135$ .

Answer 3

Queremos el número entero positivo más pequeño $n$ tal que existe algún número entero (positivo) $k$ tal que $$\frac{150+n}{15+n}=k.$$ Tenga en cuenta que $k=1$ nunca puede funcionar, así que podemos asumir $k-1\neq0.$ Ahora reordenamos la ecuación anterior: multiplicando ambos lados por $15+n,$ obtenemos $150+n=15k+nk;$ ahora reordenar y factorizar para obtener $15(10-k)=(k-1)n;$ y ahora divide ambos lados por $k-1,$ para obtener $$n=\frac{15(10-k)}{k-1}.$$ Puesto que queremos el número entero positivo más pequeño $n,$ podemos simplemente probar valores de $k\in\{2,3,\ldots,9\},$ empezando por el más grande y bajando (porque la función de $k$ en el lado derecho es decreciente en este intervalo), hasta llegar a un valor entero de $n.$ * Cuando $k=9,$ $8$ o $7$ obtenemos valores no enteros de $n;$ cuando $k=6$ encontramos $n=15\times4/5=12.$

Así que el año pasado, $n$ fue $0,$ y la relación entre la edad de Canadá y tu edad era $k=150/15=10;$ et $11$ dentro de unos años, $n$ será $12,$ y la relación entre la edad de Canadá y tu edad será $k=162/27=6.$

*Incidentalmente, no es obvio de antemano que alguna vez obtendremos un valor entero de $n;$ Si así fuera, el problema no tendría respuesta. Sin embargo, el problema sí tiene respuesta, a saber $(n,k)\in\{(0,10),(12,6),(30,4),(120,2)\}.$

Answer 4

Alternativamente:

$\frac {150 + n}{15 + n} = \frac {150+ 10n}{15+n} +\frac {-9 n}{15+n}$

$=10 -\frac {9 n}{15+n}$ (que es un número entero para $n=0$ pero ¿cuándo será la próxima?)

$=10 - \frac {9n + 9*15}{15+n} + \frac {9*15}{15+n}=$

$=10 - 9 + \frac{3^3*5}{15+n}= 1 + \frac{3^3*5}{15+n}$

que es un número entero si $15+n$ es uno de los factores de $3^3*5$ .

Y los factores de $3^3*5$ son $1, 3,9, 27, 5,15, 45, 135$ .

Esto ocurrirá cuando $n = -14,-12, -10, -6,0, 12,30, 120$

Cuando $1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135$ y canadá es $136, 138, 140, 144, 150, 162, 180, 270$ y canada es exactamente $136,46, 28, 16, 10,6,4, 2$ tan viejo como tú.

(Disfrute de su $45$ cumpleaños cuando tu país se anexione el mío después de que nos derrumbemos por las secuelas de treinta años de los errores irrecuperables de los dos últimos años).

Es un problema divertido. Es agradable ver que a otras personas les gusta pensar en estas cosas.

Answer 5

Tenga en cuenta que si $k \mid a$ et $k \mid b$ entonces $k \mid a - b$ . En este caso concreto, tenemos $15 + n \mid 15 + n$ et $15 + n \mid 150 + n$ Así que $15 + n \mid 135$ . En otras palabras, buscamos $n+15$ para ser el siguiente factor de $135$ que es mayor que $15$ . ¿Puede continuar desde aquí?