El problema original se planteó así: Probar que el polinomio$x^5 - 5x^4 + 1$ no tiene raíces de multiplicidad 4.
Entonces, factorizar el polinomio respondería la pregunta, pero no sé cómo hacerlo.
El uso de la prueba de raíz,${1, -1}$ debería ser raíz, pero si divido por$x-1$ o$x+1$$\frac {x^5 - 5x^4 + 1}{x-1}$, o$\frac {x^5 - 5x^4 + 1}{x-1}$, obtengo un resto, por lo que son no raíces ?!
Como se sugiere en los comentarios, intente esto$$\begin{align}(x-a)(x-b)^4&=(x-a)(x^4-4x^3b+6x^2b^2-4xb^3+b^4)\\&=(x^5-(a+4b)x^4+(4ab+6b^2)x^3-(4b^3+6ab^2)x^2+(b^4+4ab^3)x-ab^4)\end{align}$ $
Para que esto coincida con la expresión$x^5-5x^4+1$, necesitamos: $$ \begin{align}&a+4b=5\\&b(4a+6b)=0\\&b^2(4b+6a)=0\\&b^3(b+4a)=0\\&ab^4=-1 \end {align} $$ De la quinta ecuación,$b\neq 0$. Luego de la cuarta ecuación,$b=-4a$. Sustitución en los primeros rendimientos$a-16a=5\implies a=-\frac13\implies b=\frac43$. Pero la sustitución en la segunda ecuación da$4a+6b=-\frac43+\frac{24}3\neq0$. Del mismo modo, la tercera ecuación falla.
Así que la expresión$x^5-5x^4+1$ no puede ser factorizada en esta forma.
Factoring no es una buena idea; factorizar un polinomio de quinto grado es, en el mejor de los casos, difícil, y generalmente imposible.
Puedes mostrar esto usando derivados. Si$a$ es una raíz repetida de$p(x)$ con multiplicidad 4, entonces$p(x) = (x-a)^{4}(x-b)$. Si observa los primeros tres derivados, puede ver que$p(a)$,$p^{\prime}(a)$,$p^{\prime\prime}(a)$ y$p^{(3)}(a)$ todos deben evaluar a$0$. Si miras tu polinomio, puedes ver que este no es el caso (las raíces son fáciles de encontrar para todos los derivados).
Me sorprende que nadie ofrece este enfoque aún: Si un polinomio $f \in \mathbb Q[X]$ tiene una raíz $a \in \mathbb C$ de la multiplicidad $4$, luego tenemos a $m^4 |f$ $\mathbb Q[X]$ donde $m \in \mathbb Q[X]$ es el polinomio mínimo de a $a$. Luego, por supuesto, $\deg f=5$ rendimientos $\deg m=1$, es decir,$a \in \mathbb Q$. Por lo tanto, cualquier raíz de multiplicidad $4$ es en realidad una raíz racional, que (como el OP ya descubierto) sería de $1$ o $-1$ y sólo se puede comprobar que no son (por supuesto, en conectando y no haciendo la división). Por lo tanto el polinomio no tiene raíz de multiplicidad $4$.
El derivado de$P(x)=x^5-5x^4+1$ es$P'(x)=5x^3(x-4).$ Ahora$P'(x)>0$ para$x>4$ y también$P'(x)>0$ para$x<0.$ Y$P'(x) <0$ para$x\in (0,4).$
Entonces$P$ está aumentando estrictamente en$(-\infty,0],$ estrictamente disminuyendo en$[0,4],$ y estrictamente aumentando en$[4,\infty)$.
Por lo tanto, a partir de eso, y de$P(-1)<0<P(0)$ y$P(4)<0<P(5),$, llegamos a la conclusión de que hay exactamente 3 soluciones reales para$P(x)=0,$ uno en$(-1,0),$ uno en$(0,4),$ y uno en $(4,5).$ Las otras 2 soluciones para$P(x)=0$ deben ser complejas, de la forma$a\pm bi,$ con% real $a, b$con$b\ne 0.$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
